Lie Algebra Canonicalization: Equivariant Neural Operators under
  arbitrary Lie Groups

Carola-Bibiane Schönlieb

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Lie Algebra Canonicalization: Equivariant Neural Operators under arbitrary Lie Groups

发表：2024/10/04

等变神经算子 (1)Lie代数标准化方法 (1)非紧Lie群对称性 (1)物理信息神经网络(PINNs) (1)预训练模型对称性对齐 (1)

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TL;DR 精炼摘要

本文提出LieLAC方法，仅基于李代数的无穷小生成元实现输入规范化，避免了对非紧致李群全结构的依赖。该方法可与预训练模型无缝结合，使其具备等变性。实验证明LieLAC在图像分类和李点对称PDE求解器中效果显著，促进了物理信息神经网络的对称性利用。

摘要

The quest for robust and generalizable machine learning models has driven recent interest in exploiting symmetries through equivariant neural networks. In the context of PDE solvers, recent works have shown that Lie point symmetries can be a useful inductive bias for Physics-Informed Neural Networks (PINNs) through data and loss augmentation. Despite this, directly enforcing equivariance within the model architecture for these problems remains elusive. This is because many PDEs admit non-compact symmetry groups, oftentimes not studied beyond their infinitesimal generators, making them incompatible with most existing equivariant architectures. In this work, we propose Lie aLgebrA Canonicalization (LieLAC), a novel approach that exploits only the action of infinitesimal generators of the symmetry group, circumventing the need for knowledge of the full group structure. To achieve this, we address existing theoretical issues in the canonicalization literature, establishing connections with frame averaging in the case of continuous non-compact groups. Operating within the framework of canonicalization, LieLAC can easily be integrated with unconstrained pre-trained models, transforming inputs to a canonical form before feeding them into the existing model, effectively aligning the input for model inference according to allowed symmetries. LieLAC utilizes standard Lie group descent schemes, achieving equivariance in pre-trained models. Finally, we showcase LieLAC's efficacy on tasks of invariant image classification and Lie point symmetry equivariant neural PDE solvers using pre-trained models.

思维导图

论文精读

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1. 论文基本信息 (Bibliographic Information)

标题 (Title): Lie Algebra Canonicalization: Equivariant Neural Operators under arbitrary Lie Groups (李代数规范化：任意李群下的等变神经算子)
作者 (Authors): Zakhar Shumaylov, Peter Zaika, James Rowbottom, Ferdia Sherry, Melanie Weber, Carola-Bibiane Schönlieb
隶属机构 (Affiliations): University of Cambridge, Harvard University
发表期刊/会议 (Journal/Conference): 本文为 arXiv 预印本，尚未在同行评审的会议或期刊上正式发表。arXiv 是一个开放获取的预印本库，通常用于快速分享最新的研究成果。
发表年份 (Publication Year): 2024
摘要 (Abstract): 机器学习对鲁棒和可泛化模型的需求推动了利用对称性的等变神经网络的发展。在偏微分方程（PDE）求解器领域，近期研究表明李点对称性（Lie point symmetries）可以通过数据和损失增强为物理信息神经网络（PINNs）提供有用的归纳偏置。然而，在模型架构中直接强制施加等变性仍然很困难，因为许多PDE的对称群是非紧致的（non-compact），且其结构通常只研究到无穷小生成元（infinitesimal generators）层面，这与大多数现有等变架构不兼容。本文提出了一种名为 Lie aLgebrA Canonicalization (LieLAC) 的新方法，该方法仅利用对称群的无穷小生成元的作用，从而避免了对完整群结构的了解。为此，作者解决了规范化（canonicalization）文献中现有的理论问题，并建立了与连续非紧致群情况下帧平均（frame averaging）的联系。在规范化框架内，LieLAC 可以轻松集成到无约束的预训练模型中，在将输入送入现有模型之前，将其转换为规范形式，从而根据允许的对称性对齐输入以进行模型推理。LieLAC 利用标准的李群下降方案，在预训练模型中实现等变性。最后，论文展示了 LieLAC 在不变图像分类和使用预训练模型的李点对称等变神经PDE求解器任务上的有效性。
原文链接 (Source Link):
- ArXiv: https://arxiv.org/abs/2410.02698v2
- PDF: https://arxiv.org/pdf/2410.02698v2.pdf
- 发布状态: 预印本 (Preprint)

2. 整体概括 (Executive Summary)

研究背景与动机 (Background & Motivation - Why):
- 核心问题: 深度学习模型，尤其是用于科学计算（如求解偏微分方程PDE）的模型，通常需要大量数据且泛化能力有限。利用数据中固有的对称性是提高模型性能和泛化能力的关键，但这在实践中面临巨大挑战。
- 现有挑战/空白 (Gap):
  1. 许多科学问题（特别是PDE）的对称性由复杂的非紧致李群（non-compact Lie groups）描述，而现有的等变神经网络（Equivariant Neural Networks）大多是为简单的紧致群（如旋转群）设计的，无法直接应用。
  2. 这些复杂对称群的完整结构通常未知或难以处理，我们往往只知道它们的李代数（Lie algebra），即在单位元附近的局部结构（无穷小生成元）。
  3. 直接构建一个全新的等变模型成本高昂，而如何让已经训练好的、功能强大的预训练模型（如基础模型）也具备等变性，是一个非常实际且有价值的问题。
- 创新思路: 与其设计一个全新的、从头开始就等变的复杂模型，不如设计一个“预处理”模块。这个模块可以在不改变现有模型（如一个预训练好的PDE求解器）的情况下，将任意输入数据转换（或“对齐”）到一个“标准”或“规范”的形式。这样，无论输入如何被对称变换，预处理模块总能将其“拨乱反正”，从而使下游的非等变模型表现出等变的行为。这种方法的核心是规范化 (canonicalization)。
核心贡献/主要发现 (Main Contribution/Findings - What):
- 提出 LieLAC 方法: 提出了一种名为李代数规范化 (Lie aLgebrA Canonicalization, LieLAC) 的通用框架。LieLAC 是一个“即插即用”的模块，可以赋予任何预训练模型对任意李群的等变性，而只需要知道该群的李代数。
- 完善规范化理论: 解决了现有规范化理论在处理非紧致连续群时遇到的问题（如轨道不闭合导致最小值不存在）。作者提出了加权闭合规范化 (weighted closed canonicalization) 的新概念，为在这些复杂群上进行基于能量的规范化提供了坚实的理论基础。
- 统一理论框架: 建立并阐明了帧平均（frame averaging）和规范化（canonicalization）这两种实现等变性的主流方法之间的联系，特别是在连续群和非紧致群的背景下。
- 广泛的实验验证: 在多个任务上验证了 LieLAC 的有效性：
  1. 不变图像分类: 在经过仿射和单应性变换的 MNIST 数据集上，显著提升了标准CNN分类器的性能。
  2. 等变PDE求解: 将 LieLAC 应用于预训练的神经算子（DeepONet, POSEIDON），在求解热方程、伯格斯方程和艾伦-卡恩方程时，大幅提高了模型在分布外（OOD）数据上的泛化能力。

基础概念 (Foundational Concepts):
- 等变性 (Equivariance): 如果一个函数（或神经网络） $f$ 对一个变换 $g$ 是等变的，意味着先对输入 $x$ 做变换再送入函数，其结果等于先将输入送入函数再对输出做变换。形式化地，存在一个变换 $g'$ ，使得 $f(g \cdot x) = g' \cdot f(x)$ 对所有 $g$ 和 $x$ 成立。不变性 (Invariance) 是等变性的一个特例，其中 $g'$ 是恒等变换，即 $f(g \cdot x) = f(x)$ 。例如，图像分类任务希望模型对旋转、平移等操作具有不变性。
- 李群 (Lie Group): 既是群也是光滑流形（smooth manifold）的数学结构。简单来说，它是一个连续的变换群，如二维旋转群 SO(2) 或欧几里得变换群 SE(2)。紧致群 (Compact group) 指的是群在拓扑上是紧致的（有界且闭合），如旋转群。非紧致群 (Non-compact group) 则不满足此条件，如缩放群或本文中PDE的对称群 $\bar{\mathrm{SL}}(2, \mathbb{R}) \ltimes_\phi \mathrm{H}(1, \mathbb{R})$ 。
- 李代数 (Lie Algebra): 每个李群在单位元（identity element）处的切空间（tangent space）。它捕捉了群的无穷小变换 (infinitesimal transformation)。可以把它想象成描述群在“原点”附近如何运动的向量空间。通过指数映射（exponential map），李代数可以生成李群中的元素。本文的核心优势之一就是仅依赖李代数，而不需要完整的李群结构。
- 物理信息神经网络 (Physics-Informed Neural Networks, PINNs): 一类神经网络，其损失函数不仅包含数据拟合项，还包含一个惩罚项，用于惩罚网络输出不满足某个偏微分方程（PDE）的程度。这使得网络在学习过程中能够遵循物理定律。
- 神经算子 (Neural Operator): 学习函数空间之间映射的神经网络。与学习向量到向量映射的传统网络不同，神经算子可以学习输入函数（如PDE的初始条件）到输出函数（PDE的解）的映射，从而能够处理不同离散化和参数下的问题。
- 规范化 (Canonicalization): 一种实现等变性的方法。它为每个输入 $x$ 找到其所在变换轨道 $Gx = \{g \cdot x | g \in G\}$ 上的一个或一组“标准”或“规范”的代表元 $y \in C(x)$ 。然后将这个规范化的代表元 $y$ 送入下游模型。由于对于同一个轨道上的所有点，其规范化代表元都是相同的，这使得下游模型表现出不变性或等变性。
前人工作 (Previous Works):
- 等变卷积网络: 从 CNNs 的平移等变性出发，研究者将其推广到更一般的群，如旋转平移群。这些方法通常通过定义群卷积 (group convolution) 来实现，但这在处理连续群和网格数据时会遇到离散化问题。
- 基于李代数的等变网络: 一些工作尝试利用李代数来近似群卷积，但仍专注于在模型架构内部实现等变性。
- PDE中的对称性: 先前工作主要通过数据增强（用对称变换扩充训练数据）或损失函数增强（在损失中加入对称性约束）来利用PDE的李点对称性。这些方法属于“软”约束，不如在架构中强制实施“硬”约束来得有效和通用。
- 规范化与帧平均 (Frame Averaging): 规范化 和 帧平均 是两种实现等变性的后处理（post-hoc）方法。帧平均 是对输入 $x$ 在其轨道上的多个变换版本进行预测，然后对预测结果进行平均。然而，现有规范化理论主要关注有限群或紧致群，对于非紧致群存在理论空白。
差异化分析 (Differentiation):
- 适用范围更广: 与大多数只能处理特定紧致群的等变网络不同，LieLAC 通过其新的理论框架可以处理任意李群，特别是PDE中常见的非紧致群。
- 信息要求更低: LieLAC 仅需李代数，而不需要完整的群结构或全局参数化，这在许多实际科学问题中是巨大的优势。
- 非侵入式，兼容预训练模型: LieLAC 是一个外部模块，可以与任何现有的、非等变的预训练模型（如CNN、DeepONet、POSEIDON）结合使用，无需修改或重新训练这些模型（尽管微调可以进一步提升性能）。
- 理论更完备: 本文提出的加权闭合规范化填补了现有理论在处理非紧致群时的空白，使其方法具有坚实的数学基础。

4. 方法论 (Methodology - Core Technology & Implementation Details)

LieLAC 的核心思想是基于能量的规范化。对于一个输入 $x$ ，在它所属的对称变换轨道上，寻找一个能量最低的点，并将其作为 $x$ 的规范化表示。

方法原理 (Methodology Principles):
- 直觉: 假设我们有一个在特定“姿态”或“形式”下表现最佳的模型（例如，在训练数据分布的中心区域）。那么，对于任何一个新的输入，我们可以通过对称变换将其调整到这个“最佳姿态”，然后再送入模型进行预测。
- 实现: 这个“最佳姿态”可以通过一个能量函数 (Energy Function) E(x) 来定义，能量越低代表姿态越好。规范化的过程就变成了在一个给定的输入 $x$ 的变换轨道 Gx 上，寻找使能量 E(y) 最小化的点 $y$ 。
方法步骤与流程 (Steps & Procedures):
1. 定义能量函数 E(x): 能量函数的设计是关键，它应能反映出数据的“规范性”。例如，它可以是到训练数据域中心的距离，或是数据点在某个预训练密度模型下的负对数似然。
2. 定义规范化目标: 对于输入 $x$ ，其规范化集合被定义为在 $x$ 的轨道上能量最小的点的集合： $\mathcal{C}_{E}(x) = \underset{y \in Gx}{\arg\min} E(y)$
3. 处理非紧致群的挑战: 当群 $G$ 是非紧致时，轨道 Gx 可能不是一个闭集。这意味着 E(y) 在 Gx 上可能不存在最小值（最小值可能在轨道的边界点上，而边界点不属于轨道本身）。
  - 示例: 论文中提到，当 $G = \mathbb{R}_{>0}$ （正实数乘法群）作用于 $X = \mathbb{R}^2$ （通过标量乘法）时，轨道是不过原点的射线。如果能量函数是 $E(x) = \|x\|^2$ ，那么能量的最小值点是原点，但原点不属于任何轨道。
4. 解决方案：加权闭合规范化 (Weighted Closed Canonicalization): 为了解决上述问题，作者提出将优化范围从轨道 Gx 扩大到其闭包 (closure) $\overline{Gx}$ 。这样，最小值就一定存在了（在能量函数是下半连续的条件下）。 $\mathcal{M}_{E}(x) = \underset{y \in \overline{Gx}}{\arg\min} E(y)$ 这个最小能量点的集合 $\mathcal{M}_{E}(x)$ 是规范化的目标。
5. 构造规范化输出:
  - 如果 $\mathcal{M}_{E}(x)$ 是一个有限集，则规范化的输出可以是集合中所有点的平均。
  - 如果 $\mathcal{M}_{E}(x)$ 是一个连续集（例如一条线），作者提出使用其上的归一化豪斯多夫测度 (normalized Hausdorff measure) 来定义一个概率分布，然后从中采样或计算期望，得到最终的规范化输出。
6. 实际优化: 在实践中，求解上述优化问题通常通过在李代数 $\mathfrak{g}$ 或群 $G$ 的参数空间上进行梯度下降来完成。LieLAC 使用标准的李群下降方案。例如，如果群有一个全局参数化 $\tau: \mathfrak{g} \to G$ ，则优化过程如下面的伪代码所示。
  
  算法1：带全局回缩的规范化 (Algorithm 1: Canonicalization with a global retraction)
```
Data: 非规范化输入 x, 步数 N, 学习率 ηi, 初始参数 ξ0 ∈ g, 能量函数 E: X → R, 回缩映射 τ: g → G
Result: 规范化输入 x_canonical = g⁻¹ · x; 规范化群元素 g.

# 在 ξ ∈ g 上进行梯度下降
ξ ← ξ0;
for i = 0 to N do
  g = τ(ξ)
  # 计算能量函数关于 ξ 的梯度并更新
  ξ ← ξ - ηi * ∇_ξ E(g · x)
end
g_final = τ(ξ)
return g_final · x, g_final, (g_final)⁻¹
```
  注：论文伪代码中返回 $τ(ξ) · x$ 和 $τ(ξ)$ ，但在实践中（如PDE求解），通常需要找到将输入 $x$ 变换到规范形式的群元素 $g_c$ ，然后用其逆变换 $g_c^{-1}$ 将模型的输出变换回去，以确保等变性。
数学公式与关键细节:
- 弱等变加权帧 (Weakly-Equivariant Weighted Frames):
  - 定义 (Definition 3.2): 一个函数 $\mu_{[\cdot]}: X \to \mathrm{PMeas}(G)$ ，其中 $\mathrm{PMeas}(G)$ 是 $G$ 上的概率测度集，满足 $( \pi_{gx} )_* \mu_{gx} = ( \pi_{gx} )_* g_* \mu_x$ 。这里 $\pi_{gx}: G \to G/G_{gx}$ 是商映射。这个定义放宽了标准等变性要求，使其在有稳定子群（stabilizer）的情况下依然适用。
- 加权闭合规范化 (Weighted Closed Canonicalization):
  - 定义 (Definition 3.7): 一个 $G$ -不变的函数 $\kappa: X \to \mathrm{PMeas}(X)$ ，满足对任意 $x \in X$ ，其支撑集 $\mathrm{supp} \, \kappa_x \subseteq \overline{Gx}$ 。即，规范化后的分布位于原始点轨道之闭包上。
- 理论联系图:
  
  该图像是论文中展示的关于不同规范化方法之间关系的示意图，具体涉及有限和紧李群框架下的范畴和映射，包含多层次的空间关系和映射箭头，部分空间用 $\mathrm{Fra}_G^{cts}(X)$ 、 $\mathrm{OCan}_G^{cts}(X)$ 等符号表示。
  
  图8解读: 这张图展示了本文构建的理论框架。
  - 上层 (绿色框): 对应有限群的情况，展示了从帧 Fra(X) 到轨道规范化 OCan(X) 的关系。
  - 下层 (红色/橙色框): 是本文的核心贡献，将概念推广到连续群。WFra(X) (加权帧) 与 WOCan(X) (加权轨道规范化) 之间存在联系。最重要的是，为了处理非紧致群，引入了 WCCan(X) (加权闭合规范化)，这是通过在轨道闭包上进行优化得到的。
  - 内层框: cts 下标代表了那些能够保持函数连续性的特殊子空间。

5. 实验设置 (Experimental Setup)

数据集 (Datasets):
1. 2D Toy Example: 一个由同心圆环和一些离散高斯分布组成的二维合成数据集，用于直观展示规范化的效果。
2. MNIST及其变体:
  - MNIST: 标准的手写数字数据集。
  - affNIST: 对 MNIST 图像施加随机仿射变换（旋转、缩放、错切、平移）得到的数据集。
  - homNIST: 对 MNIST 图像施加随机单应性变换（更复杂的射影变换）得到的数据集。
3. PDE 数据集 (均为合成数据):
  - 热方程 (Heat Equation): 初始条件为高斯随机场 (Gaussian Random Fields)。
  - 伯格斯方程 (Burgers' Equation): 初始条件为高斯随机场。
  - 艾伦-卡恩方程 (Allen-Cahn Equation): 使用 POSEIDON 模型论文中提供的初始条件数据。
评估指标 (Evaluation Metrics):
- 分类准确率 (Accuracy):
  1. 概念定义: 这是分类任务中最常用的指标，衡量的是被正确分类的样本数占总样本数的比例。它直观地反映了模型的整体性能。
  2. 数学公式: $\mathrm{Accuracy} = \frac{\text{Number of Correct Predictions}}{\text{Total Number of Predictions}}$
  3. 符号解释: “Number of Correct Predictions” 是模型预测标签与真实标签一致的样本数量；“Total Number of Predictions” 是测试集中的总样本数量。
- 相对 $L_2$ 误差 (Relative $L_2$ Error):
  1. 概念定义: 在数值分析和科学计算中，用于衡量预测解 $u_{pred}$ 与真实解 $u_{true}$ 之间的差异。它计算了两者差值的 $L_2$ 范数（可以理解为误差的“能量”或“大小”）相对于真实解 $L_2$ 范数的比例。这个相对值消除了量纲的影响，使得不同问题之间的误差可以相互比较。
  2. 数学公式: $\text{Relative } L_2 \text{ Error} = \frac{\| u_{pred} - u_{true} \|_{L_2}}{\| u_{true} \|_{L_2}}$ 其中，对于函数 f(x)，其 $L_2$ 范数定义为 $\|f\|_{L_2} = \sqrt{\int |f(x)|^2 dx}$ 。在离散情况下，积分变为求和。
  3. 符号解释: $u_{pred}$ 是模型的预测解（一个函数或离散网格上的值）， $u_{true}$ 是真实的精确解。 $\| \cdot \|_{L_2}$ 表示 $L_2$ 范数。
对比基线 (Baselines):
- CNN: 一个标准的卷积神经网络，作为非等变模型的代表。
- affConv / homConv: 专门为仿射群和单应性群设计的等变卷积网络，作为先进的等变模型代表。
- DeepONet / POSEIDON: 强大的预训练神经算子，用于 PDE 求解。POSEIDON 是一个基础模型。将 LieLAC 应用于这些模型，以测试其对预训练模型的增强效果。
- Data Augmentation: 将对称变换应用于训练数据来扩充数据集，是一种常见的提升泛化性的基线方法。

6. 实验结果与分析

核心结果分析 (Core Results Analysis):

2D Toy Example (k-NN 分类):

$Figure 1: Effect of canonicalization on decision boundaries in $k$ -NN classification for separating the inner and the outer rings Section 5.1.$ 该图像是论文中展示的图1，属于示意图，展示了标准kNN分类与通过Lie代数范式化后kNN分类对内外环数据分布的决策边界影响，体现了范式化对分类边界的显著改善。

图2解读: 左图展示了原始数据分布（环形和点状）。中间是 LieLAC 作用后的 k-NN 分类边界，可以看到边界非常平滑，完美地分开了内外环。右图是标准 k-NN 的分类边界，由于数据点位置的随机性，边界非常杂乱且错误地分割了数据。这直观地证明了规范化可以将数据“对齐”，使得简单的模型也能做出正确的决策。
不变图像分类 (MNIST):
- 性能对比:
  
  以下是 Table 1 的转录结果，展示了在 affNIST 和 homNIST 上的测试准确率。
  
  表1: MNIST 在仿射群和单应性群下的测试准确率
  
  名称 MNIST affNIST
  
  CNN 0.985 0.629
  
  LieLAC [CNN] 0.979 0.972
  
  affConv 0.982 0.943
  
  名称 MNIST homNIST
  
  CNN 0.985 0.644
  
  LieLAC [CNN] 0.982 0.960
  
  homConv 0.980 0.927
  
  分析:
  1. 标准 CNN 在经过变换的 affNIST 和 homNIST 数据集上性能急剧下降（从98.5%降至约63%），说明其不具备不变性。
  2. LieLAC 作用在标准 CNN 上 (LieLAC [CNN])，使其准确率大幅回升至97%和96%，几乎恢复到原始 MNIST 上的水平。
  3. 更重要的是，LieLAC [CNN] 的性能甚至超越了专门设计的等变网络 affConv 和 homConv，展示了其方法的强大效果。
- 可视化分析:
  
  该图像是论文中展示的图表，展示了通过仿射变换和单应性变换作用于MNIST手写数字图像的原始图像、规范化图像、失真图像及失真后规范化图像对比。
  
  图10解读: 该图展示了 LieLAC 的工作方式。从左到右依次为：原始图像、规范化后的图像、随机变换后的失真图像、对失真图像进行规范化后的图像。可以看到，无论原始图像如何扭曲，LieLAC 都能将其恢复到一个近乎“标准”的形态，解释了其为何能提升下游分类器性能。

等变PDE演化:

$Figure 1: Effect of canonicalization on decision boundaries in $k$ -NN classification for separating the inner and the outer rings Section 5.1.$ 该图像是论文中展示的图1，属于示意图，展示了标准kNN分类与通过Lie代数范式化后kNN分类对内外环数据分布的决策边界影响，体现了范式化对分类边界的显著改善。

图1解读: 该图展示了 LieLAC 在 PDE 求解中的完整流程。

Top Row (Baseline): 初始条件直接送入神经算子 $\mathcal{O}_\theta$ 得到预测，误差较大。
Bottom Row (LieLAC): 初始条件先通过规范化步骤（最小化能量 $E_U$ 找到群元素 $g_c$ ）得到一个规范化的初始条件。然后将其送入算子 $\mathcal{O}_\theta$ 进行预测。最后，将预测结果通过 $g_c$ 的作用变换回去，得到最终的、更准确的解。误差显著降低。

热方程与伯格斯方程:

以下是 Table 2 的转录结果，展示了在热方程和伯格斯方程上的平均相对 $L_2$ 误差。ID 表示分布内数据，OOD 表示分布外（经过对称变换）的数据。

表2: 热方程和伯格斯方程的 $L_2$ 相对误差

Model Heat Heat (+ data aug.) Burgers

ID OOD ID OOD ID OOD

DeepONet 0.0498 0.6572 0.0504 0.0687 0.0832 0.8369

LieLAC [DeepONet] 0.0443 0.0435 0.0500 0.0500 0.0916 0.1006

分析:
1. 在没有 LieLAC 的情况下，DeepONet 在 OOD 数据上的误差非常大（0.6572 和 0.8369），说明其泛化能力差。
2. 使用了 LieLAC 后，OOD 误差大幅降低（降至 0.0435 和 0.1006），几乎与 ID 误差持平，证明 LieLAC 成功地赋予了 DeepONet 对李点对称性的等变性。
3. 与数据增强 (+ data aug.) 相比，LieLAC 在原始模型上的提升效果更为显著，并且不需要重新训练。

艾伦-卡恩方程 (与基础模型 POSEIDON 结合):

以下是 Table 3 的转录结果，展示了在艾伦-卡恩方程上的误差（所有值乘以 $10^{-4}$ ）。

表3: 艾伦-卡恩方程上的误差 $(\times 10^{-4})$

名称 (×10⁻⁴)	ID Error	OOD Error	Avg
POSEIDON	6.93	75.76	41.35
LieLAC [POSEIDON]	16.69	29.19	22.94
POSEIDON + ft (can).	8.45	20.09	14.27
LieLAC [POSEIDON+ ft.]	10.23	11.34	10.79
POSEIDON + ft. (data aug)	8.41	8.50	8.46

分析:

预训练的 POSEIDON 模型在 OOD 数据上表现很差（误差75.76）。
直接使用 LieLAC (LieLAC [POSEIDON]) 可以将 OOD 误差从75.76降至29.19，平均误差减半。
一个有趣的发现是，在规范化后的数据上对模型进行微调 (finetuning, ft) 效果更好。LieLAC [POSEIDON + ft.] 取得了最低的平均误差和极低的 OOD 误差（11.34），非常接近用大量数据进行数据增强并微调的结果（8.50）。
这表明 LieLAC 不仅可以作为推理时的即插即用模块，还可以指导模型进行更高效的微调，用很少的数据（论文中提到仅用100个轨迹）就能达到接近完全数据增强的效果。

7. 总结与思考 (Conclusion & Personal Thoughts)

结论总结 (Conclusion Summary):
- 本文成功提出了 LieLAC，一个新颖、通用且强大的框架，用于在任意（包括非紧致）李群下为预训练模型赋予等变性。
- 该方法的核心是基于能量的规范化，它仅需对称群的李代数信息，大大降低了应用门槛。
- 通过引入加权闭合规范化等概念，论文为在连续非紧致群上进行规范化提供了坚实的理论基础。
- 实验证明，LieLAC 在图像分类和 PDE 求解等任务中，能显著提升模型的泛化能力和鲁棒性，尤其是在分布外数据上表现优异，并能指导高效的模型微调。
局限性与未来工作 (Limitations & Future Work):
- 推理速度慢: 规范化过程需要在每个输入上运行一个优化算法（梯度下降），这会导致推理时间显著增加（论文提到有 5-30 倍的 slowdown）。这是一个严重的实践瓶颈。未来的工作可以探索更快的优化技术。
- 能量函数的设计: 能量函数 E(x) 的选择对结果至关重要，但目前主要靠人工设计（hand-crafted），缺乏系统性的方法。如何自动学习或设计最优的能量函数是一个挑战。
- 模型兼容性: LieLAC 应用于现有神经算子时，会受到这些模型硬编码的边界条件等限制。未来的基础模型需要设计得更加灵活，才能更好地与这类方法集成。
- 探索方向:
  1. 将 LieLAC 应用于更多、更大型的基础模型。
  2. 探索更复杂的对称性，如局部变换群（local transformation groups）。
个人启发与批判 (Personal Insights & Critique):
- 模块化思想的胜利: LieLAC 最具启发性的一点是其模块化和非侵入式的设计。它将“处理对称性”这一复杂任务与“核心预测任务”解耦，允许我们利用强大的、现有的非等变模型，而无需从头构建复杂的等变架构。这种“预处理+标准模型”的范式在工程上极具吸引力。
- 理论与实践的桥梁: 本文在解决非紧致群规范化这一理论难题的同时，给出了切实可行的算法和在多个重要应用上的成功案例，是理论与实践紧密结合的典范。
- 潜在问题与批判:
  1. 计算成本是硬伤: 推理速度的大幅下降可能会限制 LieLAC 在对实时性要求高的场景中的应用。虽然作者提出了一些可能的优化方向，但这个问题并未得到根本解决。
  2. 能量函数的“艺术性”: 能量函数的设计目前看起来更像一门“艺术”而非“科学”。这可能会使得方法在迁移到新问题时，需要大量的专家知识和调参工作，降低了其“即插即用”的便利性。
  3. 优化过程的稳定性: 基于能量的优化是一个非凸问题，可能会陷入局部最优，导致规范化效果不稳定或次优。虽然实验结果看起来不错，但其鲁棒性仍值得进一步探究。
    
    总而言之，这篇论文提出了一个非常优雅且强大的思想，为在复杂对称性下利用预训练模型提供了全新的途径。它不仅在理论上有所突破，更在实践中展示了巨大的潜力，尤其是在科学计算和基础模型领域。尽管存在计算成本等局限性，但其核心思想和框架无疑为未来的研究开辟了新的方向。

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Model	Heat		Heat (+ data aug.)		Burgers
Model	ID	OOD	ID	OOD	ID	OOD
DeepONet	0.0498	0.6572	0.0504	0.0687	0.0832	0.8369
LieLAC [DeepONet]	0.0443	0.0435	0.0500	0.0500	0.0916	0.1006

名称	MNIST	affNIST
CNN	0.985	0.629
LieLAC [CNN]	0.979	0.972
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名称	MNIST	homNIST
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