On the optimization dynamics of RLVR: Gradient gap and step size
  thresholds

Yaqi Duan

论文状态：已完成

On the optimization dynamics of RLVR: Gradient gap and step size thresholds

发表：2025/10/10

大语言模型强化学习训练 (54)梯度间隙分析 (1)步长阈值理论 (1)基于二元反馈的强化学习 (1)轨迹与token级训练分析 (1)

原文链接 PDF 下载

价格：0.10

已有 5 人读过

本分析由 AI 生成，可能不完全准确，请以原文为准。

TL;DR 精炼摘要

本文建立了基于可验证奖励强化学习（RLVR）的理论框架，提出“梯度间隙”量化升级方向，证明收敛依赖于更新与梯度间隙的对齐，并推导出步长阈值，揭示长度归一化等技巧为何提升训练稳定性及成功率瓶颈。实验验证了该理论。

摘要

Reinforcement Learning with Verifiable Rewards (RLVR), which uses simple binary feedback to post-train large language models, has shown significant empirical success. However, a principled understanding of why it works has been lacking. This paper builds a theoretical foundation for RLVR by analyzing its training process at both the full-response (trajectory) and token levels. Central to our analysis is a quantity called the Gradient Gap, which formalizes the direction of improvement from low-reward to high-reward regions of the response space. We prove that convergence critically depends on aligning the update direction with this Gradient Gap. Moreover, we derive a sharp step-size threshold based on the magnitude of the Gradient Gap: below it, learning converges, whereas above it, performance collapses. Our theory further predicts how the critical step size must scale with response length and the success rate, thereby explaining why practical heuristics such as length normalization improve stability and showing that, with a fixed learning rate, the success rate can stagnate strictly below $100\%$ . We validate these predictions through controlled bandit simulations.

思维导图

论文精读

中文精读约 16 分钟读完 · 9,028 字

1. 论文基本信息 (Bibliographic Information)

标题 (Title): On the optimization dynamics of RLVR: Gradient gap and step size thresholds (关于 RLVR 的优化动力学：梯度间隙与步长阈值)
作者 (Authors): Joe Suk, Yaqi Duan。隶属于纽约大学斯特恩商学院技术、运营与统计系 (Department of Technology, Operations and Statistics, Stern School of Business, New York University)。
发表期刊/会议 (Journal/Conference): 本文为预印本 (Preprint)，发布于 arXiv。arXiv 是一个开放获取的学术论文存档网站，通常用于在正式同行评审前发布研究成果。
发表年份 (Publication Year): 2025 (根据论文元数据)
摘要 (Abstract): 本文旨在为一种名为“基于可验证奖励的强化学习” (RLVR) 的大语言模型训练方法建立理论基础。RLVR 仅使用简单的二元（成功/失败）反馈，在实践中效果显著，但其工作原理尚不明确。研究的核心是提出了一个名为 梯度间隙 (Gradient Gap) 的量，它量化了从低奖励区域指向高奖励区域的改进方向。论文证明，模型的收敛关键取决于更新方向与 梯度间隙 的对齐。此外，论文推导出了一个基于 梯度间隙 大小的精确步长阈值：低于该阈值，学习收敛；高于该阈值，性能则会崩溃。该理论还预测了临界步长如何随响应长度和成功率变化，从而解释了为何像长度归一化这样的实用技巧能提高稳定性，并揭示了在固定学习率下，成功率可能停滞在远低于100%的水平。这些理论预测通过受控的赌博机模拟实验得到了验证。
原文链接 (Source Link):
- arXiv 页面: https://arxiv.org/abs/2510.08539v2
- PDF 链接: https://arxiv.org/pdf/2510.08539v2.pdf
- 发布状态：预印本 (Preprint)。

2. 整体概括 (Executive Summary)

研究背景与动机 (Background & Motivation - Why):
- 核心问题： 近年来，使用强化学习对大语言模型 (LLM) 进行后训练 (post-training) 取得了巨大成功。其中，一种名为 基于可验证奖励的强化学习 (Reinforcement Learning with Verifiable Rewards, RLVR) 的方法，因其仅使用简单的二元反馈（例如，代码能否成功编译、数学题答案是否正确），简化了训练流程而备受关注。然而，RLVR 的成功很大程度上是经验性的，缺乏坚实的理论基础来解释其工作原理。我们不知道它为什么有效，在什么条件下会失败，以及如何系统地调整其超参数（如学习率）以保证稳定收DENVER。
- 现有挑战与空白 (Gap)： 现有工作提出了多种基于 PPO 算法的 RLVR 变体（如 GRPO, DAPO, Dr. GRPO），它们引入了各种启发式技巧（如长度归一化、奖励标准化）来提高训练稳定性。但这些技巧的选择更多是基于直觉而非理论，导致从业者在调参时仍依赖大量的试错。理论与实践之间存在巨大鸿沟，尤其是在 RLVR 这种奖励信号极其稀疏（只有0或1）的场景下。
- 创新思路： 本文的切入点是构建一个数学框架来精确描述 RLVR 的优化过程。作者没有提出新算法，而是深入分析现有算法的动力学。其核心创新是引入了一个关键概念——梯度间隙 (Gradient Gap)，用以形式化地定义模型参数空间中“从坏答案到好答案”的改进方向。
核心贡献/主要发现 (Main Contribution/Findings - What):
- 统一的 RLVR 理论框架： 论文提出了一个基于 梯度间隙 (Gradient Gap) 的理论框架，统一分析了使用二元奖励的 RLVR 方法。这个 梯度间隙 指出了从低奖励响应区域到高奖励响应区域的参数更新方向。
- 收敛保证与步长阈值： 论文从理论上证明了存在一个精确的步长阈值。当学习率（步长）低于此阈值时，模型性能能够稳定收敛；而一旦超过此阈值，性能会发生灾难性崩溃。这为超参数调整提供了明确的理论指导。
- 解释实用技巧的有效性： 该理论解释了为什么在实践中一些启发式技巧是有效的。例如，它证明了临界步长必须与模型输出的长度成反比，从而为 GRPO 等算法中使用的长度归一化提供了理论依据。此外，理论还表明，随着模型成功率的提升，有效步长需要相应调整，解释了为什么固定学习率会导致模型性能停滞在非100%的水平。

本部分为初学者铺垫理解论文所需的基础知识。

基础概念 (Foundational Concepts):
- 大语言模型 (Large Language Models, LLMs): 这是一种深度学习模型，能够理解和生成类似人类语言的文本。在本文中，LLM 以自回归 (autoregressive) 方式生成文本，即逐个预测下一个词元 (token)，直到生成一个特殊的结束符 EOS。
- 策略 (Policy) $\pi_\theta$ : 在强化学习中，策略是一个函数，它根据当前状态决定下一步的行动。对于 LLM 而言，策略 $\pi_\theta$ 就是模型本身，它根据输入的提示 (prompt) 和已经生成的文本，给出下一个词元的概率分布。 $\theta$ 是模型的参数。
- 强化学习 (Reinforcement Learning, RL): 一种机器学习范式，智能体 (agent) 通过与环境交互来学习。智能体执行一个动作，环境返回一个奖励 (reward)，智能体的目标是最大化累积奖励。在本文中，LLM 是智能体，它生成的完整响应是一个“动作”，环境则根据该响应是否正确给出一个奖励。
- 可验证奖励的强化学习 (Reinforcement Learning with Verifiable Rewards, RLVR): 这是 RL 的一种特殊应用场景。奖励信号不是由人主观给出或由复杂的奖励模型预测，而是可以通过一个确定的程序自动验证。例如，代码是否通过所有单元测试，数学答案是否正确。奖励通常是二元的：正确为1，错误为0。
- 策略梯度 (Policy Gradient, PG): 一类经典的 RL 算法。其核心思想是直接对策略参数 $\theta$ 求梯度，以使得期望奖励 $J(\pi_\theta)$ 增加。REINFORCE 是最基础的策略梯度算法。
- 近端策略优化 (Proximal Policy Optimization, PPO): 一种先进的策略梯度算法，通过引入一个“裁剪” (clipping) 机制来限制每次策略更新的幅度，从而提高了训练的稳定性。PPO 及其变体是当前 LLM 后训练的主流方法。
前人工作 (Previous Works):
- GRPO 及其变体:
  - GRPO (Group Relative Policy Optimization): 扩展了 PPO，它不使用学习的价值函数，而是通过比较一批采样响应的奖励来进行归一化。
  - DAPO (Decoupled Advantage Policy Optimization): 在 GRPO 基础上进一步改进，例如动态过滤掉全对或全错的批次。
  - Dr. GRPO: 重新审视了 GRPO 的优势函数归一化过程，认为移除长度和方差归一化可以减少策略更新的偏差。
  - 局限性: 这些工作都是经验性的，提出了不同的“技巧”，但没有解释这些技巧为何有效。本文的工作正是为了填补这一理论空白。
- 策略梯度理论工作:
  - 已有研究证明，在某些条件下（如有限马尔可夫决策过程），策略梯度方法可以保证收敛到全局最优解。
  - 局限性: 这些理论保证很难直接推广到 LLM 后训练的场景，因为 LLM 的参数空间巨大，且 RLVR 的奖励信号是极其稀疏的二元信号，梯度信息非常有限。
技术演进 (Technological Evolution): LLM 的对齐训练经历了从依赖大规模人工标注的监督学习，到使用人类偏好数据训练奖励模型的 RLHF (Reinforcement Learning from Human Feedback)，再到本文关注的 RLVR。RLVR 的演进趋势是寻求更简单、更可扩展、自动化程度更高的反馈信号，从而摆脱对昂贵且主观的人工标注的依赖。
差异化分析 (Differentiation): 本文与 GRPO、DAPO 等工作的核心区别在于：它们是“做什么”(What) 和 “怎么做”(How) 的工作，而本文是“为什么”(Why) 的工作。前者提出新的算法或技巧来提升性能，后者则建立数学理论来解释现有方法的底层动力学。本文的**梯度间隙 (Gradient Gap) 概念是其最根本的理论创新**，它提供了一个全新的视角来理解和分析 RLVR 的收敛与稳定问题。

4. 方法论 (Methodology - Core Technology & Implementation Details)

本部分详细拆解论文的理论框架。

方法原理 (Methodology Principles): 论文的核心思想是将复杂的 RL 优化过程分解，并通过一个新定义的量——梯度间隙 (Gradient Gap)——来刻画学习的本质方向。其基本直觉是：成功的学习，就是让模型参数朝着“增加好答案概率、降低坏答案概率”的方向移动。梯度间隙 正是这个方向的数学表达。
方法步骤与流程 (Steps & Procedures): 论文的分析分为两个层次：轨迹层面 (trajectory-level) 和词元层面 (token-level)。

第一步：问题形式化 (Problem Set-Up)
1. 目标函数: 优化的目标是最大化期望奖励 $J(\pi_\theta)$ ，对于 RLVR，这等价于最大化模型生成正确答案的概率（成功率）。 $\mathrm{maximize}_{\theta \in \mathbb{R}^d} \quad J(\pi_\theta) := \mathbb{E}_{q \sim \mathbb{P}(Q), \vec{o} \sim \pi_\theta(\cdot | q)} [r^\star(q, \vec{o})]$
2. 通用更新规则: 策略梯度方法通过以下形式更新参数： $\theta_{k+1} = \theta_k + \eta_k \cdot \mathbf{w}_k$ 其中， $\eta_k$ 是步长 (学习率)， $\mathbf{w}_k$ 是归一化的更新方向。不同的算法（如 REINFORCE, GRPO）对应不同的 $\mathbf{w}_k$ 计算方式。
第二步：轨迹层面分析 (Trajectory-Level Analysis) 这个层面将每个完整的响应 $\vec{o}$ 视为一个不可分的单元。
1. 空间划分: 将所有可能的响应空间 $\mathcal{O}$ $O$ 划分为两个子集：
  - $\mathcal{O}_q^+$ : 正确响应集合 (奖励为 1)。
  - $\mathcal{O}_q^-$ : 错误响应集合 (奖励为 0)。
2. 定义核心概念:
  - 条件策略 ( $\pi_\theta^+$ , $\pi_\theta^-$ ): 分别定义在正确和错误响应集合上的条件概率分布。 $\pi_\theta^+$ 描述了模型在“知道答案是正确的前提下”，如何在所有正确答案中分配概率。
  - 条件梯度 ( $g_q^+$ , $g_q^-$ ): 分别计算在正确和错误响应上的期望对数似然梯度 (score function)。 $g_q^+(\pi_\theta) := \mathbb{E}_{\vec{o} \sim \pi_\theta^+(\cdot | q)} [\nabla_\theta \log \pi_\theta(\vec{o} | q)]$ $g_q^-(\pi_\theta) := \mathbb{E}_{\vec{o} \sim \pi_\theta^-(\cdot | q)} [\nabla_\theta \log \pi_\theta(\vec{o} | q)]$
  - 梯度间隙 (Gradient Gap): 定义为两个条件梯度的差： $\text{Gradient Gap} = g_q^+(\pi_\theta) - g_q^-(\pi_\theta)$ 这个向量直观地指向了参数空间中能将概率从错误答案区域转移到正确答案区域的方向。
  - 间隙对齐度 (Gap Alignment): 定义为更新方向 $\mathbf{w}_k$ 与 梯度间隙 的内积： $\Delta\mu_q(k) := \mathbf{w}_k \cdot \{g_q^+(k) - g_q^-(k)\}$ $\Delta\mu_q(k)$ 越大，意味着当次更新越“有效”。
第三步：词元层面分析 (Token-Level Analysis) 这个层面考虑了 LLM 自回归生成的结构，将分析细化到每个词元。
1. 更精细的假设: 之前的假设是针对整个响应的，这里将假设施加于单个词元的对数似然梯度上，并引入了对响应长度的假设（有界且满足一定的分布特性）。
2. 建立新的理论界: 推导了与轨迹层面类似但更精细的收敛定理。关键区别在于，理论结果中显式地包含了响应长度 ( $T_\infty$ , $T_{\psi_1}$ ) 和成功率 ( $1-J_q$ )。
数学公式与关键细节 (Mathematical Formulas & Key Details):
- 梯度间隙与策略梯度的关系 (公式 10): $\nabla_\theta J_q(\pi_\theta) = J_q(\pi_\theta)\{1 - J_q(\pi_\theta)\} \cdot (g_q^+ - g_q^-)$
  - 符号解释:
    - $\nabla_\theta J_q(\pi_\theta)$ : 目标函数（成功率）关于参数 $\theta$ 的真实梯度。
    - $J_q(\pi_\theta)$ : 当前策略的成功率。
    - $g_q^+ - g_q^-$ : 梯度间隙。
  - 公式目的: 此公式揭示了 梯度间隙 是真实梯度方向的核心部分。真实梯度的大小会被 $J_q(1-J_q)$ 这一项缩放，当成功率接近0或1时，梯度会消失。而 梯度间隙 本身不受此影响，是一个更“纯粹”的改进方向指标。
- 核心收敛/发散定理 (定理 1 & 2): 定理1表明，学习能否收敛到100%成功率，取决于累积间隙对齐度 (Cumulative Gap Alignment) $M(K) = \sum_{k=0}^{K-1} [\Delta\mu_q(k)]_+ \eta_k$ 是否能无限增长。并且，步长 $\eta_k$ 必须足够小，满足： $\eta_k \leq \frac{[\Delta\mu_q(k)]_+}{2(L_o + 8G_o^2)}$ 定理2则构造了一个反例，证明即使 间隙对齐度 始终为正，如果步长 $\eta_k$ 过大，性能也会灾难性地下降到0。这背后的直觉是，过大的步长会导致更新被“负面样本空间”（通常更大、更多样）的方差所主导，从而“过犹不及”。
- 词元层面的步长阈值 (定理 3, 公式 18a): 这是论文最重要的理论结果之一，给出了一个更精确的步长上界： $\eta_k \le \text{min} \left\{ \frac{[\Delta\mu_q(k)]_+ / 2}{L_p T_\infty + G_p^2 \min\{\frac{T_{\psi_1}}{1-J_q(k)}, 8T_\infty^2\}}, \frac{1}{2\sqrt{L_p T_\infty + G_p^2 T_{\psi_1}}} \right\}$
  - 符号解释:
    - $L_p, G_p$ : 单个词元梯度的平滑性和有界性常数。
    - $T_\infty, T_{\psi_1}$ : 响应长度的最大值和典型尺度。
    - $J_q(k)$ : 第 $k$ 步的成功率。
    - $\Delta\mu_q(k)$ : 第 $k$ 步的 间隙对齐度。
  - 公式目的与启示: 这个复杂的公式告诉我们，安全的步长 $\eta_k$ $η_{k}$ 应该：
    1. 与 间隙对齐度 $\Delta\mu_q(k)$ 成正比。
    2. 与响应长度 ( $T_\infty$ 或 $T_{\psi_1}$ ) 成反比。这为 GRPO 的长度归一化提供了理论支持。
    3. 当成功率 $J_q(k)$ 趋近于1时，分母中的 $1-J_q(k)$ 项会变小，导致整个分母变大，从而要求步长 $\eta_k$ 变得更小。这解释了为什么固定学习率的算法在训练后期成功率会停滞。

5. 实验设置 (Experimental Setup)

数据集 (Datasets):
- 实验并未使用真实世界的 LLM 任务数据集，而是采用了一个合成的上下文赌博机 (Contextual Bandit) 任务。
- 来源与特点: 这是一个受控的模拟环境。具体来说，上下文 $x$ 是一个10维的向量，有100个“臂”（动作）。对于每个上下文，都有一个最优的臂。模型的任务是学习一个策略，为给定的上下文 $x$ 选择最优的臂。实验从一个包含100个随机生成的上下文池中进行抽样。
- 选择原因: 选择这种合成环境是为了在可控的条件下精确地验证理论。在这种环境中，梯度间隙、价值函数 等理论量都可以被精确计算，从而可以清晰地检验理论预测与实际优化轨迹是否吻合，避免了真实 LLM 训练中各种混杂因素的干扰。
评估指标 (Evaluation Metrics):
- 价值函数 (Value Function) $J_x(\pi_{\theta_k})$ :
  1. 概念定义: 对于给定的上下文 $x$ ，价值函数 $J_x(\pi_{\theta_k})$ 指的是策略 $\pi_{\theta_k}$ 能够选择正确“臂”（即最优动作）的概率。它直接衡量了模型在该特定任务上的成功率或准确率。
  2. 数学公式: $J_x(\pi_\theta) = \pi_\theta(y^\star(x) | x)$
  3. 符号解释:
    - $\pi_\theta(y|x)$ : 策略 $\pi_\theta$ 在给定上下文 $x$ 时选择臂 $y$ 的概率。
    - $y^\star(x)$ : 对于上下文 $x$ 的最优臂。
- 累积间隙对齐度 (Cumulative Gap Alignment):
  1. 概念定义: 这个指标衡量了从训练开始到第 $k$ 步，所有“有效”更新（即 间隙对齐度 为正的更新）的总量。根据理论（定理1），这个值的增长是模型性能提升的驱动力。
  2. 数学公式: $M_x(k) = \sum_{i=0}^{k} [\Delta\mu_x(i)]_+ \cdot \eta$
  3. 符号解释:
    - $[\cdot]_+ = \max(0, \cdot)$ : 取正部函数。
    - $\Delta\mu_x(i)$ : 在第 $i$ 步、针对上下文 $x$ 计算的 间隙对齐度。
    - $\eta$ : 固定的步长。
对比基线 (Baselines):
- 该实验没有设置传统的基线模型进行对比。其目的不是为了证明新算法的优越性，而是为了验证自身理论的正确性。实验中仅使用了 REINFORCE 算法（一种基础的策略梯度方法），在一个受控环境中观察其优化轨迹是否符合论文理论的预测。

6. 实验结果与分析

实验通过在上下文赌博机上运行 REINFORCE 算法，验证了理论的核心预测。

核心结果分析 (Core Results Analysis): 论文中的 Figure 1 展示了实验结果，由三个子图构成。

该图像是论文中展示的图表，表现了累积梯度间隙与值函数及迭代过程中的关系。左图显示累积梯度间隙与值函数的对应变化，中间图展示累积梯度间隙随迭代次数增长的趋势，右图则描绘了相对累积梯度间隙与值函数的关系。
1. 左图 (累积梯度间隙 vs. 价值函数):
  - 结果: 该图显示了 价值函数 $J_x$ 与 累积间隙对齐度 $M_x(k)$ 之间存在一种清晰的S型（逻辑斯蒂）关系。
  - 分析: 这完美地验证了理论预测（推论1的公式）。公式 $J_q(K) \ge \frac{J_q(0)}{J_q(0) + \{1-J_q(0)\}\exp\{-\frac{1}{2}M(K)\}}$ 正好描述了一个S型增长曲线。这表明，累积间隙对齐度 确实是驱动模型性能提升的关键变量。
2. 中图 (累积梯度间隙 vs. 迭代次数):
  - 结果: 图中显示了不同上下文的 累积间隙对齐度 随迭代次数的变化。曲线呈现出两种截然不同的模式：一些上下文的曲线快速指数级增长，而另一些则几乎保持平坦。
  - 分析: 这验证了理论中的“收敛”与“停滞”二分法（定理1）。当更新方向与 梯度间隙 持续对齐时，累积间隙对齐度 快速增长，性能随之提升（对应指数增长的曲线）；当对齐很差或没有时，学习停滞（对应平坦的曲线）。
3. 右图 (相对累积梯度间隙 vs. 价值函数):
  - 结果: 该图显示，那些 相对累积梯度间隙 接近0的上下文（即其 梯度间隙 的演化与训练中使用的上下文相似）经历了更快的收敛。
  - 分析: 这个有趣的发现表明，当评估任务与训练任务的改进方向（梯度间隙）一致时，泛化效果最好。这为多任务学习和课程学习中的任务选择提供了理论启示。
消融实验/参数分析 (Ablation Studies / Parameter Analysis):
- 本文的正文部分没有包含传统的消融实验或超参数分析。实验设计的重点是理论验证，而非模型组件或参数的调优。

7. 总结与思考 (Conclusion & Personal Thoughts)

结论总结 (Conclusion Summary): 这篇论文为 RLVR 这一重要的 LLM 训练技术提供了首个系统的理论基础。通过引入 梯度间隙 这一核心概念，论文：
1. 揭示了 RLVR 的优化动力学，证明了收敛的关键在于更新方向与 梯度间隙 的对齐。
2. 推导出了一个精确的步长阈值，超过该阈值会导致训练崩溃，为安全调参提供了理论指导。
3. 从理论上解释了多个经验性技巧的有效性，如长度归一化，并预测了固定学习率下的性能停滞现象。
局限性与未来工作 (Limitations & Future Work): 作者在论文中明确指出了当前工作的局限性，并提出了未来的研究方向：
- 单提示假设: 当前的理论分析主要在单个提示 (single-prompt) 的设定下进行，而实际训练通常使用一个批次 (batch) 的多样化提示。
- 批次内的异质性: 在一个批次中，不同提示的 梯度间隙 和最优步长可能差异巨大。一个统一的更新步长可能对某些提示过大，对另一些又过小，导致整体收益受限。
- 未来方向:
  1. 提示自适应更新 (Prompt-adaptive updates): 开发能够根据批次内不同提示的特性，动态调整更新方向或大小的算法。
  2. 多提示分布下的统计动力学分析: 将理论从单提示扩展到多提示的统计设定。
  3. 课程学习 (Curriculum Learning): 将该理论框架扩展到分析顺序化或课程学习的训练策略。
个人启发与批判 (Personal Insights & Critique):
- 启发:
  1. 理论的价值： 这篇论文是理论指导实践的典范。它没有止步于“什么方法有效”，而是深入探究“为什么有效”，这种第一性原理的思考方式对于推动领域的长期发展至关重要。
  2. 梯度间隙的泛用性： 梯度间隙 这个概念非常精妙，它将复杂的优化问题简化为方向对齐问题。这个思想可能可以迁移到其他使用稀疏、二元反馈的学习任务中，例如某些科学发现或药物设计领域。
  3. 对实践的指导： 论文的结论直接解释了 GRPO 为何优于 Dr. GRPO (因为它包含了长度归一化)，并警示我们注意训练后期的停滞问题，这可能需要更精细的学习率衰减策略（例如，与 $1-J_q$ 相关的策略）。
- 批判与思考:
  1. 实验验证的局限性： 尽管使用合成数据对于理论验证是必要且有效的，但其与真实 LLM 训练的差距仍然存在。例如，真实 LLM 的响应空间结构远比上下文赌博机复杂。将该理论在真实的 LLM 训练中进行更细致的量化验证将是很有价值的下一步。
  2. 假设的强度： 论文中的一些正则性假设（如梯度的有界性和利普希茨连续性）在超高维的 LLM 参数空间中是否普遍成立，仍然是一个开放问题。尽管这些是理论分析的标准假设，但其实际影响值得进一步探讨。
  3. 梯度间隙的估计： 理论分析假设 梯度间隙 是已知的，但在实践中，它必须通过采样来估计，这会引入噪声。分析这种估计误差对收敛性的影响，将使理论更加贴近实际。

相似论文推荐

基于向量语义检索推荐的相关论文。

暂时没有找到相似论文。