1. 论文基本信息 (Bibliographic Information)

• 标题 (Title): Fourier Neural Operator for Parametric Partial Differential Equations (用于参数化偏微分方程的傅里叶神经算子)
• 作者 (Authors): Zongyi Li, Nikola Kovachki, Kamyar Azizzadenesheli, Burigede Liu, Kaushik Bhattacharya, Andrew Stuart, Anima Anandkumar。这些作者来自加州理工学院 (Caltech) 和普渡大学 (Purdue University) 等顶尖研究机构，在机器学习、计算科学和应用数学领域拥有深厚背景。
• 发表期刊/会议 (Journal/Conference): 本文最初作为预印本发表于 arXiv。其高质量的研究成果使其在机器学习和科学计算领域获得了广泛的关注和引用，后续版本可能已投稿至顶级会议如 ICLR 或 NeurIPS。
• 发表年份 (Publication Year): 2020
• 摘要 (Abstract): 传统神经网络主要学习有限维欧氏空间之间的映射。近期，这一概念被推广到能够学习函数空间之间映射的“神经算子”。对于偏微分方程 (PDEs)，神经算子可以直接学习从任意函数化参数到解的映射，从而一次性学习一个 PDE 族，而不是像传统方法那样一次只求解一个实例。在这篇工作中，作者通过在傅里叶空间中直接参数化积分核，构建了一种新颖的、富有表现力且高效的神经算子架构。实验在伯格斯方程、达西流和纳维-斯托克斯方程上进行。傅里叶神经算子是首个成功建模湍流并实现零样本超分辨率的机器学习方法，比传统 PDE 求解器快上三个数量级，并且在固定分辨率下，其精度也优于先前的学习型求解器。
• 原文链接 (Source Link):
  • ArXiv 链接: https://arxiv.org/abs/2010.08895v3
  • PDF 链接: https://arxiv.org/pdf/2010.08895v3.pdf
  • 发布状态: 预印本 (Preprint)。

2. 整体概括 (Executive Summary)

• 研究背景与动机 (Background & Motivation - Why):

  • 核心问题: 许多科学和工程领域（如流体力学、材料设计）需要反复求解复杂的偏微分方程 (PDEs)。传统数值求解器（如有限元法 FEM）虽然精确，但在处理精细网格或需要大量重复求解（如在优化或不确定性量化任务中）时，计算成本极高，非常耗时。
  • 现有挑战 (Gap): 已有的机器学习方法存在明显缺陷。
    1. 有限维方法: 基于卷积神经网络 (CNN) 的方法将问题视为图像到图像的转换，但它们与特定的网格分辨率绑定，一旦分辨率改变，模型就需要重新训练，缺乏泛化性，即所谓的“网格依赖” (mesh-dependent)。
    2. 单实例方法: 像物理信息神经网络 (PINNs) 这类方法，虽然是“无网格”的，但它们一次只能求解一个特定的 PDE 实例。每当方程的参数（如初始条件或系数）改变，就需要重新进行耗时的训练优化过程。
    3. 早期算子方法: 先前的神经算子（如基于图核 GNO 的方法）虽然理论上解决了上述问题，但它们在计算积分算子时效率不高，且在处理复杂的湍流问题时表现不佳。
  • 创新思路: 本文的核心思路是学习一个能够直接映射“输入函数”（如初始条件）到“输出函数”（PDE的解）的算子。其最大的创新在于，它借鉴了谱方法 (spectral methods) 的思想，在傅里E叶空间中实现这个算子的关键部分——积分核卷积。这不仅极大提升了计算效率（得益于快速傅里叶变换 FFT），还天然地使其具备了处理不同分辨率数据的能力。

• 核心贡献/主要发现 (Main Contribution/Findings - What):

  • 提出了傅里叶神经算子 (Fourier Neural Operator, FNO): 这是一种新颖的、高效的深度学习架构，用于学习无限维函数空间之间的映射。它通过在傅里叶域中对卷积核进行参数化，实现了全局感受野和高效计算。
  • 实现了分辨率无关性 (Resolution-Invariance): FNO 的一大突破是其模型参数与训练数据的离散化网格无关。这使得它能够实现零样本超分辨率 (zero-shot super-resolution)，即在低分辨率数据上训练的模型，可以直接在更高分辨率的网格上进行评估和预测，而无需任何微调。
  • 在多个基准测试中达到SOTA性能:
    • 在伯格斯方程、达西流和纳维-斯托克斯方程等多个标准 PDE 问题上，FNO 的精度显著优于所有现有的深度学习方法（在固定分辨率下，误差降低了 30%-60%）。
    • 首次成功建模湍流: FNO 是第一个能够有效学习纳维-斯托克斯方程在湍流状态下（低粘度）解算子的机器学习方法，而之前的图神经算子等方法在此类问题上难以收敛。
  • 极高的推理速度: FNO 的推理速度比传统的数值求解器快了多达三个数量级。例如，在纳维-斯托克斯方程的求解上，FNO 仅需 0.005 秒，而传统谱方法需要 2.2 秒，这使得它在需要大量前向模拟的下游任务（如贝叶斯反问题）中具有巨大的应用潜力。

3. 预备知识与相关工作 (Prerequisite Knowledge & Related Work)

• 基础概念 (Foundational Concepts):

  • 偏微分方程 (Partial Differential Equation, PDE): 描述物理世界中各种系统（如流体、热传导、电磁场）演化的数学方程。它包含未知函数及其关于多个自变量的偏导数。求解 PDE 就是找到满足该方程的函数。
  • 算子 (Operator): 在数学中，算子是一个函数，其输入和/或输出是函数，而不是简单的数值。例如，微分算子 $\frac{d}{dx}$ 的输入是一个函数 f(x)，输出是另一个函数 f'(x)。本文中，PDE 的解算子 $G^\dagger$ 输入一个参数函数 $a$（如初始条件），输出对应的解函数 $u$。
  • 神经算子 (Neural Operator): 一类特殊的神经网络，旨在学习无限维函数空间之间的映射（即算子）。与传统神经网络学习 $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 的映射不同，神经算子学习从一个函数空间 $\mathcal{A}$ 到另一个函数空间 $\mathcal{U}$ 的映射 $G: \mathcal{A} \to \mathcal{U}$。
  • 傅里叶变换 (Fourier Transform): 一种重要的数学工具，可以将一个函数（通常在时域或空域）分解成不同频率的正弦波分量（即变换到频域）。其关键性质是卷积定理：两个函数在空域中的卷积等于它们在频域中对应傅里叶变换的乘积。这使得复杂的卷积运算可以被高效的逐点乘法替代。快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform, FFT) 是一种计算离散傅里叶变换的快速算法。

• 前人工作 (Previous Works):

  • 传统数值求解器 (Traditional Solvers): 如有限元法 (FEM)、有限差分法 (FDM)。它们通过将连续空间离散化为网格来求解 PDE。局限性： 精度与速度存在权衡，高精度需要精细网格，导致计算量巨大；且每次求解只能针对一个特定的 PDE 实例。
  • 有限维算子 (Finite-dimensional operators): 使用 CNN 等架构学习离散网格点之间的映射。局限性： 严重依赖于训练数据的网格分辨率和几何形状，无法泛化到新的分辨率，即“网格依赖”。
  • 神经-有限元法 (Neural-FEM): 如物理信息神经网络 (PINNs)，直接用神经网络参数化 PDE 的解函数 u(x)，并通过最小化 PDE 残差来训练网络。局限性： 这种方法是“无网格”的，但它一次只能求解一个 PDE 实例。对于新的参数（如新的初始条件），必须从头开始训练，计算成本与传统方法相当。
  • 其他神经算子 (Other Neural Operators):
    • DeepONet: 通过将输入函数编码到有限维向量（trunk net）和将坐标编码到另一个向量（branch net），然后将两者结合来近似算子。
    • 图神经算子 (Graph Neural Operator, GNO): 将函数离散化的点视为图节点，通过消息传递来近似积分算子。局限性： 计算成本较高，且在处理需要捕捉长距离依赖的复杂问题（如湍流）时效果不佳。

• 技术演进 (Technological Evolution): PDE 求解方法经历了从“求解单实例”到“学习算子”的演进。

  1. 传统方法 (FEM/FDM): 求解单实例，速度慢。
  2. 早期 ML 方法 (CNNs): 学习离散算子，但网格依赖，泛化差。
  3. PINNs/Neural-FEM: 求解单实例，但无网格，仍然耗时。
  4. 算子学习 (GNO/DeepONet): 学习函数到函数的映射，概念上解决了前述问题，但效率和精度有待提升。
  5. FNO (本文): 继承算子学习思想，但通过傅里叶变换实现了高效、精确且分辨率无关的实现，是技术演进的又一重要步骤。

• 差异化分析 (Differentiation): 与之前的神经算子相比，FNO 的核心区别在于实现积分核的方式。

  • 相较于 GNO 在物理空间中通过图消息传递近似局部积分，FNO 在傅里叶空间中通过全局卷积实现积分算子。这利用了 FFT 算法，使得计算复杂度从 GNO 的 $O(n^2)$ 降低到近线性的 $O(n \log n)$，其中 $n$ 是离散点数。
  • 傅里叶基函数是全局的（每个傅里叶系数都受到整个定义域的影响），这使得 FNO 能更有效地捕捉长距离依赖关系，这对于模拟湍流等复杂现象至关重要。
  • 由于参数在傅里叶空间中定义，与物理空间的离散方式解耦，FNO 天然具备了分辨率无关性。

4. 方法论 (Methodology - Core Technology & Implementation Details)

FNO 的核心架构是一种迭代式的深度网络，其每一层都模拟了一个积分算子的更新过程。

• 方法原理 (Methodology Principles): FNO 的整体架构遵循“抬升-迭代-投影” (Lift-Iterate-Project) 的模式，旨在逼近目标算子 $G^\dagger$。其核心思想是，通过交替应用一个全局的、线性的积分算子和一个局部的、非线性的激活函数，来构造一个能够逼近高度非线性算子的强大网络，这与标准神经网络用线形层和非线性激活函数来逼近复杂函数是类似的。

  FNO 的最大创新在于积分算子的实现。它将积分算子简化为一个卷积算子，并利用卷积定理，将其转移到傅里叶域中，通过简单的逐点相乘来完成。这不仅计算高效，而且由于傅里叶基的全局性，能够有效捕捉长程依赖。

• 方法步骤与流程 (Steps & Procedures):

  上图：神经算子的整体架构。下图：傅里叶层的具体实现。

  如上图所示，一个完整的 FNO 流程如下：

  1. 抬升 (Lifting): 输入函数 a(x) 首先通过一个局部的全连接网络 $P$ 被“抬升”到一个更高维的通道空间，得到 $v_0(x) = P(a(x))$。这允许网络在更丰富的特征空间中进行计算。
  2. 迭代更新 (Iteration): 接下来，网络会应用 $T$ 个傅里叶层进行迭代更新。在第 $t$ 层，函数 $v_t(x)$ 会被更新为 $v_{t+1}(x)$。每个傅里叶层包含两个并行的分支：
     • 全局分支 (傅里叶积分): a. 对 $v_t$ 应用傅里叶变换 ($\mathcal{F}$)。 b. 在傅里叶域中，只保留低频模式（通过截断高频），并与一个可学习的权重张量 $R$ 进行逐点相乘。 c. 对结果应用逆傅里叶变换 ($\mathcal{F}^{-1}$)。
     • 局部-线性分支: 对 $v_t$ 应用一个简单的线性变换 $W$。这个分支主要处理局部信息和边界条件等非周期性部分。
     • 将两个分支的结果相加，然后通过一个非线性激活函数 $\sigma$（如 ReLU），得到下一层的输入 $v_{t+1}(x)$。
  3. 投影 (Projection): 经过 $T$ 次迭代后，得到最终的特征函数 $v_T(x)$。最后，通过另一个局部的全连接网络 $Q$ 将其“投影”回目标函数空间，得到最终的输出解 $u(x) = Q(v_T(x))$。

• 数学公式与关键细节 (Mathematical Formulas & Key Details):

  • 迭代更新层 (Iterative Update Layer): 每一层的更新规则由以下公式定义： $$v_{t+1}(x) := \sigma \Big( W v_t(x) + \big(\mathcal{K}(\phi) v_t\big)(x) \Big), \quad \forall x \in D$$ 符号解释:

    • $v_t(x)$: 第 $t$ 层的函数表示，是一个在定义域 $D$ 上的多通道函数。
    • $W$: 一个线形变换（可以看作一个 $1 \times 1$ 的卷积），作用于每个点的通道上，捕捉局部信息。
    • $\mathcal{K}(\phi)$: 一个由参数 $\phi$ 控制的积分算子，用于捕捉全局信息。
    • $\sigma$: 非线性激活函数，如 ReLU。

  • 傅里叶积分算子 (Fourier Integral Operator): 这是 FNO 的核心。论文将积分算子 $\mathcal{K}$ 定义为在傅里叶域中的一个操作： $$\big(\mathcal{K}(\phi) v_t\big)(x) = \mathcal{F}^{-1}\Big(R_\phi \cdot (\mathcal{F} v_t)\Big)(x)$$ 符号解释:

    • $\mathcal{F}$: 傅里叶变换。
    • $\mathcal{F}^{-1}$: 逆傅里叶变换。
    • $R_\phi$: 一个在傅里叶域中定义的可学习的复数权重张量。这是网络的核心学习参数。它对输入函数的傅里叶模式进行线性变换。
    • $\cdot$: 逐元素的乘法。

  • 离散化与快速傅里叶变换 (Discretization & FFT): 在实际应用中，函数被离散化为网格上的点。傅里叶变换 $\mathcal{F}$ 由快速傅里叶变换 (FFT) 高效实现。操作流程变为：

    1. 对离散输入 $v_t \in \mathbb{R}^{n \times d_v}$ 应用 FFT。

    2. 在得到的频域表示中，只保留前 $k_{max}$ 个低频模式。

    3. 将这些低频模式与可学习的权重 $R \in \mathbb{C}^{k_{max} \times d_v \times d_v}$ 相乘。

    4. 将高频部分补零，然后应用逆 FFT (iFFT) 返回到物理空间。

       这个过程的计算复杂度主要由 FFT 决定，为 $O(n \log n)$，其中 $n$ 为网格点数。由于只处理 $k_{max}$ 个模式，实际计算非常高效。

5. 实验设置 (Experimental Setup)

• 数据集 (Datasets): 论文在三个经典的 PDE 问题上进行了实验，以验证 FNO 的有效性和泛化性。

  1. 1-D 伯格斯方程 (Burgers' Equation): 一个非线性 PDE，用于模拟粘性流体的一维流动。任务是学习从初始条件 $u_0(x)$ 到 $t=1$ 时刻解 $u(x, 1)$ 的算子。
  2. 2-D 达西流 (Darcy Flow): 一个二阶线性椭圆 PDE，用于模拟多孔介质中的流体流动。任务是学习从扩散系数函数 a(x) 到解函数 u(x) 的算子。
  3. 2-D 纳维-斯托克斯方程 (Navier-Stokes Equation): 描述粘性不可压缩流体运动的非线性 PDE。任务是学习从前 10 个时间步的涡度场 (vorticity) w(x, t) 预测后续时间步的涡度场。实验覆盖了从平滑流（粘度 $\nu=1e-3$）到湍流（$\nu=1e-4, 1e-5$）的不同情况。

• 评估指标 (Evaluation Metrics): 论文主要使用相对 $L^2$ 误差来评估模型的精度。

  • 相对 $L^2$ 误差 (Relative $L^2$ Error):
    1. 概念定义 (Conceptual Definition): 该指标衡量模型预测解与真实解之间的差异。它计算了预测误差（预测值与真实值之差）的 $L^2$ 范数，并将其与真实解本身的 $L^2$ 范数进行比较，得到一个相对百分比。这个指标的好处是它不受解的绝对大小影响，可以公平地比较不同问题或不同实例上的模型性能。值越低，表示模型的预测越准确。
    2. 数学公式 (Mathematical Formula): 对于真实解 $u$ 和预测解 $\hat{u}$，其相对 $L^2$ 误差定义为： $$\text{Error} = \frac{\| \hat{u} - u \|_{L^2}}{\| u \|_{L^2}} = \frac{\sqrt{\int_D (\hat{u}(x) - u(x))^2 dx}}{\sqrt{\int_D u(x)^2 dx}}$$ 在离散情况下，积分被求和替代： $$\text{Error} = \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^n (\hat{u}_i - u_i)^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2}}$$
    3. 符号解释 (Symbol Explanation):
       • $u$: PDE 的真实解（函数或离散向量）。
       • $\hat{u}$: 模型预测的解（函数或离散向量）。
       • $\| \cdot \|_{L^2}$: 函数的 $L^2$ 范数，表示函数的“大小”或“能量”。
       • $D$: 函数的定义域。
       • $n$: 离散化网格点的数量。
       • $u_i, \hat{u}_i$: 在第 $i$ 个网格点上的真实值和预测值。

• 对比基线 (Baselines):

  • 时间无关问题 (Burgers, Darcy):
    • NN: 简单的逐点前馈神经网络。
    • RBM: 降阶模型中的经典方法，基于 POD 基。
    • FCN: 基于全卷积网络的方法，是当时先进的有限维算子方法。
    • PCANN: 一种结合 PCA 和神经网络的算子学习方法。
    • GNO: 基于图神经网络的算子。
    • MGNO: GNO 的多极点版本。
    • LNO/DeepONet: 基于低秩分解的算子。
  • 时间相关问题 (Navier-Stokes):
    • ResNet: 经典的深度残差网络。
    • U-Net: 图像到图像任务中常用的编码器-解码器架构。
    • TF-Net: 专为湍流预测设计的网络。
    • FNO-2D: 在空间上使用 2D FNO，在时间上使用 RNN 结构进行递归预测。
    • FNO-3D: 直接在时空域上使用 3D FNO 进行卷积。

6. 实验结果与分析 (Results & Analysis)

• 核心结果分析 (Core Results Analysis):

  上图展示了 FNO 与其他基线在三个 PDE 问题上的性能对比。左图和中图显示了不同分辨率下的误差，右图显示了学习曲线。

  1. 精度和分辨率无关性:

     • 从上图的左侧 (Burgers) 和中间 (Darcy Flow) 可以看出，FNO (紫线) 在所有分辨率下都取得了最低的误差。
     • 更重要的是，FNO 的误差不随分辨率的增加而显著变化，表现出优异的“分辨率无关性”。
     • 相比之下，基于 CNN 的方法 FCN (绿线) 的误差随着分辨率的提高而急剧增加，暴露了其网格依赖的根本缺陷。
     • 在 Darcy Flow 问题上，FNO 的误差比次优方法低了近一个数量级，展现了巨大的优势。

  2. 湍流建模: 以下是 Table 1 的转录数据，展示了在纳维-斯托克斯方程上的表现。

     Config	Parameters	Time per epoch	ν = 1e-3 T = 50 N = 1000	ν = 1e-4 T = 30 N = 1000	ν = 1e-4 T = 30 N = 10000	ν = 1e-5 T = 20 N = 1000
     FNO-3D	6,558,537	38.99s	0.0086	0.1918	0.0820	0.1893
     FNO-2D	414,517	127.80s	0.0128	0.1559	0.0834	0.1556
     U-Net	24,950,491	48.67s	0.0245	0.2051	0.1190	0.1982
     TF-Net	7,451,724	47.21s	0.0225	0.2253	0.1168	0.2268
     ResNet	266,641	78.47s	0.0701	0.2871	0.2311	0.2753

     • 从表格中可以看出，在数据充足的情况下（如 $\nu=1e-3$ 和 $\nu=1e-4, N=10000$），FNO-3D 取得了最佳性能。
     • 在数据量较少或问题更具挑战性（更低的粘度，更混沌）的情况下，FNO-2D 表现最好。这说明 FNO-2D 的 RNN 结构可能具有更好的样本效率。
     • FNO 模型家族（2D 和 3D）在所有设置下都显著优于 U-Net, TF-Net, ResNet 等基于 CNN 的方法，证明了其在复杂流体动力学问题上的强大能力。

  3. 零样本超分辨率 (Zero-shot Super-resolution): 这是 FNO 最惊人的能力之一。论文展示了在纳维-斯托克斯方程上，一个仅在 $64 \times 64$ 分辨率上训练的 FNO 模型，可以直接在 $256 \times 256$ 的更高分辨率网格上进行预测，且预测结果（如 Figure 1 所示）在视觉上与高分辨率的真实解非常吻合。这证明了 FNO 真正学到的是底层的、连续的算子，而不是离散的像素映射。

  4. 计算效率和下游应用: 在贝叶斯反问题实验中，FNO 作为前向模型，将 MCMC 采样过程从传统求解器的 18 小时 缩短到了 2.5 分钟，速度提升了约 440 倍。同时，其推断出的后验分布与使用昂贵求解器得到的结果几乎一致。这充分展示了 FNO 作为代理模型 (surrogate model) 在加速科学计算任务中的巨大潜力。

• 消融实验/参数分析 (Ablation Studies / Parameter Analysis):

  • 高频模式的恢复: 论文在 5.5 节的“谱分析”中探讨了一个重要问题：FNO 在傅里叶层截断了高频模式，它如何还能精确地逼近包含丰富高频细节的解？答案在于非线性激活函数 $\sigma$。线性的傅里叶层负责全局信息的混合，而非线性的激活函数在物理空间中作用，能够重新生成和恢复高频信息。这解释了为什么 FNO 仅用 12 个傅里叶模式就能达到比直接截断到 20 个模式更低的误差。
  • 非周期边界条件: 传统傅里叶方法仅适用于周期边界条件。论文指出，FNO 通过在傅里叶层中加入局部线性路径 $W v_t(x)$，可以处理非周期边界条件（如 Darcy Flow 中的 Dirichlet 边界）。这个“偏置”项可以被看作是对全局周期性卷积的一个局部修正，从而扩展了模型的适用范围。
  • $R$ 的参数化: 论文在第 4 节末尾提到，他们尝试了用神经网络来参数化 $R_\phi$，但发现效果不如直接将 $R$ 作为可学习参数。这表明对于频域中的权重，简单的直接参数化已经足够有效。

7. 总结与思考 (Conclusion & Personal Thoughts)

• 结论总结 (Conclusion Summary): 本文成功地提出了一种新颖、强大且高效的深度学习架构——傅里叶神经算子 (FNO)，用于学习 PDE 的解算子。通过在傅里叶域中执行全局卷积，并结合物理域中的局部非线性变换，FNO 实现了：

  1. 高精度： 在多个基准上超越了现有的机器学习方法。
  2. 高效率： 比传统求解器快了几个数量级。
  3. 分辨率无关性： 实现了零样本超分辨率，摆脱了对特定网格的依赖。 FNO 为解决参数化 PDE 问题提供了一个全新的、极具前景的范式，特别是在需要大量重复求解的场景中，如控制、优化、不确定性量化和反问题。

• 局限性与未来工作 (Limitations & Future Work):

  • 数据依赖: 作为一个数据驱动的方法，FNO 的性能依赖于训练数据的数量和质量。对于生成训练数据本身就极其昂贵的 PDE 系统，如何减少对数据的依赖是一个重要的未来方向。作者建议可以将神经算子与传统数值求解器结合。
  • 循环结构: FNO 的迭代结构可以自然地实现为循环神经网络 (RNN)，即所有层共享同一套参数。这可以减少模型大小并可能提高泛化能力，值得进一步探索。
  • 更广泛的应用: 作者指出，算子学习的思想并不局限于 PDE。例如，图像和视频可以被看作是定义在 2D 或 3D 空间上的函数。因此，FNO 的思想可以推广到计算机视觉等领域，特别是在需要分辨率不变性的任务中。

• 个人启发与批判 (Personal Insights & Critique):

  • 启发: 这篇论文最 brilliant 的地方在于它大道至简。它没有设计过于复杂的网络结构，而是巧妙地将一个经典的数学工具（傅里叶变换）与深度学习框架结合起来，完美地解决了算子学习中的核心挑战：如何高效地实现一个具有全局感受野的积分算子。这种“回归经典”的思路对于科研非常有启发意义。
  • 迁移价值: FNO 的思想可以被广泛应用。任何涉及信号处理、具有空间/时间结构的数据，都可以尝试使用傅里叶层来替代传统的卷积层，以获取全局信息。例如，在时间序列预测、视频分析等领域，FNO 都可能带来新的突破。
  • 批判性思考与潜在问题:
    1. 对规则网格的依赖: FNO 的高效性严重依赖于 FFT 算法，而 FFT 通常要求数据定义在均匀的矩形网格上。虽然论文声称该方法是“离散化不变的”，并且可以通过将任意点云插值到规则网格上来处理非结构化数据，但这无疑会引入额外的插值误差，并可能成为在处理复杂几何域（如带有孔洞或不规则边界的物体）时的瓶颈。
    2. 可解释性: FNO 学习到的傅里叶域权重 $R$ 仍然是一个“黑箱”。虽然我们可以分析其频谱特性，但很难直观地理解它到底学到了什么样的物理规律或核函数。
    3. 边界条件处理: 论文中关于 $W v_t(x)$ 项处理非周期边界的解释略显简单。虽然实验证明了其有效性，但其背后的理论支撑以及它能处理的边界条件的范围仍有待更深入的研究。