1. 论文基本信息

1.1. 标题

以中国数学史为主线的教学设计探索 (Exploration of Teaching Design Based on the History of Chinese Mathematics)

1.2. 作者

• 郝连明 (Hao Lianming): 吉林师范大学数学与计算机学院副教授，硕士生导师。
• 王丹 (Wang Dan): 吉林师范大学教育科学学院副教授，硕士生导师。
• 陈艳杰 (Chen Yanjie): 吉林师范大学附属实验学校副校长，硕士生导师。
• 丁思敏 (Ding Simin): 吉林师范大学附属实验学校教师（文中案例的主人公“D老师”）。

1.3. 发表期刊/会议

• 发表平台: 中国专业学位案例中心 (China Professional Degree Case Center)。
• 评价: 该平台是中国教育部学位与研究生教育发展中心建设的国家级案例库，入选案例通常代表了专业学位研究生教育中高质量的教学实践资源。

1.4. 发表年份

2024年2月15日

1.5. 摘要

本案例依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中关于增强学生爱国情怀和民族自豪感的要求，记录了一位年轻教师（D老师）在同行和导师的帮助下，围绕“勾股定理”这一课题，将中国数学史深度融入教学设计的全过程。案例详细描述了从最初的简单资料堆砌，到深入挖掘史料、确立育人目标，最终形成以《九章算术》和赵爽弦图为主线的创新教学设计。该研究旨在展示如何通过数学史（HPM）提升学生的文化自信和核心素养。

1.6. 原文链接

/files/papers/69228dc1d8097f0bc1d01430/paper.pdf (状态：已收录入库)

2. 整体概括

2.1. 研究背景与动机

• 核心问题: 如何在初中数学教学中有效地融入中华优秀传统文化，特别是数学史，以落实“立德树人”的根本任务。
• 现实挑战 (The Gap):
  • 政策要求高: 2022版新课标明确要求教材和教学要展现中国古代数学家的成就，增强民族自豪感。
  • 落地难度大: 一线教师虽然知道数学史重要，但往往处于“心中无信念、手头无史料、胸中无方法”的状态。现有的融合方式多为“点缀式”（仅在课前或课后简单提及），缺乏深度融合，难以真正发挥育人价值。
• 切入点: 论文通过追踪一位新入职教师（D老师）准备公开课（说课）的磨课过程，展示了教学设计是如何从“形式化”走向“实质化”的。

2.2. 核心贡献/主要发现

• 教学设计迭代路径: 清晰地展示了数学史融入教学的进阶路径：从单纯引用西方故事（毕达哥拉斯）$\rightarrow$ 简单的中西结合 $\rightarrow$ 以中国古代数学史（《九章算术》、赵爽弦图）为核心驱动线索的重构式设计。
• HPM 实践范例: 提供了一个具体的 HPM (History and Pedagogy of Mathematics) 实施案例，证明了将数学史作为探究问题的来源（而非仅仅是背景介绍），能够同时达成数学核心素养（如推理能力、几何直观）和德育目标（文化自信）。
• 教师成长记录: 揭示了通过集体研讨（教研活动）和理论学习（研读课标、HPM理论），新手教师可以克服史料匮乏和认知偏差，实现专业成长。

3. 预备知识与相关工作

3.1. 基础概念

为了理解本案例的教学设计，初学者需要掌握以下核心概念：

• 勾股定理 (Pythagorean Theorem/Gougu Theorem): 这是平面几何中关于直角三角形的一个基本定理。

  • 公式: 如果直角三角形的两条直角边长分别为 $a$（勾）和 $b$（股），斜边长为 $c$（弦），则满足： $a^2 + b^2 = c^2$
  • 符号解释: $a$ 和 $b$ 代表直角边的长度，$c$ 代表斜边的长度。
  • 文化背景: 西方称之为毕达哥拉斯定理。在中国，《周髀算经》记载商高提出的“勾广三，股修四，径隅五”早于西方，故称为“勾股定理”。

• 核心素养 (Core Competencies): 《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的数学教育目标，即“三会”（会用数学的眼光观察、思维思考、语言表达）。本案例重点关注：

  • 几何直观: 利用图形描述和分析问题（如通过拼图验证定理）。
  • 推理能力: 从事实出发，依据规则推出命题（如证明 $a^2+b^2=c^2$ 的过程）。
  • 应用意识: 运用数学知识解决实际问题（如解决古代建筑测量问题）。

• HPM (History and Pedagogy of Mathematics): 即“数学史与数学教育”。这是一个研究领域，旨在探讨如何将数学历史资源整合到数学教学中，以促进理解、激发兴趣和培养人文精神。

3.2. 技术演进与差异化分析

• 传统做法 (Baselines):
  • 点缀式: 课前讲一个毕达哥拉斯的故事作为导入，然后整节课讲现代数学题。
  • 附加式: 课后布置一个阅读材料，不占用课堂时间。
  • 问题: 历史与数学知识割裂，学生感觉历史是“多余的”。
• 本文方法的演进 (The Evolution in Case):
  • 阶段一 (Initial): 照搬旧教案，使用毕达哥拉斯发现地砖缝隙的故事。
  • 阶段二 (Revised): 加入赵爽弦图介绍，但仍以西方数学史为主，中国史料仅作爱国主义教育的“说教”。
  • 阶段三 (Final - 本文核心): 重构式 (Reconstruction)。完全以《九章算术》中的古文题目为驱动任务，通过解决古代问题来学习现代定理，实现“古为今用”。

4. 方法论 (教学设计的迭代过程)

本论文的“方法论”体现为D老师在专家指导下，对“探索勾股定理”这一课时的教学设计进行的三次主要迭代。

4.1. 第一次设计：常规引入 (The Conventional Approach)

D老师最初的设计非常传统，依赖于现成的网络资源。

• 导入: 讲述古希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)在朋友家看地砖发现定理的故事。
• 探究: 引导学生观察正方形面积关系 $S_A + S_B = S_C$。
• 历史: 简单提及中国数学家赵爽。
• 局限性分析:
  • 导师C指出：设计平淡无奇，未能体现2022新课标强调的“增强爱国情怀”和“核心素养”。
  • 毕达哥拉斯的故事虽然经典，但对于培养“文化自信”作用有限。

4.2. 第二次设计：史料堆砌 (Adding History)

在研读新课标后，D老师尝试加入更多中国元素，但处理方式较为生硬。

• 改进: 在证明环节加入了赵爽弦图，并引用了美国总统加菲尔德的证法和清代华蘅芳的证法。
• 问题: 引入了古代应用题（门框问题），但难度可能过大。
• 同行反馈:
  • 目标模糊: 历史似乎只是为了“引起兴趣”或“点缀”。
  • 主次不分: 既有毕达哥拉斯，又有美国总统，还有中国古代，显得杂乱，未能突出“中华传承”的主线。
  • 育人不足: 仅仅知道赵爽这个名字，不足以产生深厚的民族自豪感。

4.3. 第三次设计：基于HPM的重构 (HPM-Based Reconstruction)

这是本文的核心成果。D老师决定以中国数学史为唯一主线，贯穿全课。

4.3.1. 核心理念

采用“顺应式”和“重构式”策略。利用《九章算术》中的原始问题作为驱动任务，让学生重演古人发现和解决问题的过程。

4.3.2. 教学流程详解

1. 引入历史，创设情境:

   • 展示《九章算术》图片。
   • 核心驱动问题 (Driver Problem): 引用《九章算术》勾股章中的问题：

     “今有高垣一丈。倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问木长几何？”

   • 解释: 这是一个求斜边（木长）的问题，直接将学生带入古代应用场景。

2. 分析史料，引出猜想:

   • 出示《九章算术》中关于勾股数的三道题（勾三股四弦五等）。
   • 古文术语解析:
     • “勾股各自乘，并而开方除之，即弦” $\rightarrow$ 对应公式 $\sqrt{a^2 + b^2} = c$。
     • “股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即勾” $\rightarrow$ 对应公式 $\sqrt{c^2 - b^2} = a$。
   • 引导学生从特例（3, 4, 5）归纳出一般性猜想：$a^2 + b^2 = c^2$。

3. 了解历史，证明定理 (数形结合):

   • 几何直观: 引导学生使用方格纸（类似古人的“出入相补”思想）来验证猜想。
   • 赵爽弦图 (Zhao Shuang String Diagram):
     • 原理: 赵爽利用“出入相补法”证明勾股定理。
     • 公式推导: 大正方形面积既是 $c^2$，也是 $4 \times (\text{三角形面积}) + (\text{中间小正方形面积})$。 $$c^2 = 4 \times \left(\frac{1}{2}ab\right) + (b-a)^2$$ 展开右边： $$c^2 = 2ab + (b^2 - 2ab + a^2) = a^2 + b^2$$
     • 教学意义: 通过这个推导，学生不仅学会了证明，更深刻体会了中国古代数学“形数统一”的智慧。

4. 解决问题，感悟历史:

   • 回到开篇的“木长几何”问题，利用刚学的定理解决它，实现首尾呼应。
   • 对比西方（毕达哥拉斯）与中国（商高、赵爽）的时间线，指出中国史料的真实性和领先性（早于西方500多年），以此激发自豪感。

5. 实验设置 (案例实施背景)

本研究属于教育案例研究，其实验设置即为D老师的备课与展示环境。

5.1. 参与对象与环境

• 授课教师: D老师（入职不久的年轻教师，数学专业背景，有一定讲课比赛经验，但缺乏新课标落地经验）。
• 指导团队: C老师（师傅/年级组长）、L1/L2/Y/S老师（同行教研组成员）、专家H（高校教师）。
• 目标学生: 8年级学生（已具备全等三角形、完全平方公式基础，具备一定的推理能力，但对古代数学了解甚少）。
• 形式: 校内公开说课展示（由于疫情原因，从线下授课改为线上说课）。

5.2. 评估指标

本研究没有量化的考试分数，而是通过定性评价来验证教学设计的有效性：

1. 课标达成度: 是否落实了2022版课标中关于“数学文化”和“爱国情怀”的要求。
2. 逻辑连贯性: 数学史是否自然融入，而非生硬拼接。
3. 核心素养体现: 教学环节是否有效支撑了“几何直观”和“推理能力”的发展。
4. 专家反馈: 资深教师和高校专家对设计创新性和可行性的点评。

6. 实验结果与分析 (教学设计展示与反馈)

6.1. 最终教学设计展示

以下是D老师经过多轮打磨后，最终展示的教学设计核心环节（基于原文表格转录）：

6.2. 核心结果分析 (同行与专家评价)

• 创新性验证: 专家H认为该设计“独具匠心”，成功摆脱了以往“言必称希腊”的惯例，全方位展现了中国古代数学成就。史料不再是背景板，而是教学的脚手架 (Scaffolding)。
• 育人价值: 通过对比商高（公元前11世纪）与毕达哥拉斯（公元前6世纪）的时间线，有力地支撑了“文化自信”这一教学目标。
• 核心素养落地: 设计明确对应了几何直观（方格纸、拼图）和推理能力（赵爽弦图证明），解决了“素养目标空泛”的问题。

6.3. 潜在问题与反思

专家在肯定之余，也指出了HPM实施中的关键挑战：

• 史料严谨性: 专家指出PPT中使用了“赵爽的画像”，但历史上并无赵爽真实画像存世（常被误用的其实是刘徽或其他古人）。教训: 引用史料必须严谨，不可误导学生。
• 时间分配: 古文阅读和历史背景介绍可能会占用大量探究时间，需要在“读史”和“做题”之间找到平衡。
• 古今度量衡: 古代单位（丈、尺）与现代单位的换算可能会分散学生对数学关系的注意力。

7. 总结与思考

7.1. 结论总结

本文通过一个详实的案例，展示了初中数学教师如何响应新课标号召，将中国数学史深度融入“勾股定理”教学。

• 主要发现: 数学史不应只是课堂的调味剂，而应成为知识构建的载体。通过重构历史问题（如《九章算术》题目），可以自然地引导学生经历数学发现的过程。
• 实践意义: 证明了以“弘扬中华优秀传统文化”为主题的教学设计是可行的，且能有效提升青年教师的教学设计能力和理论素养。

7.2. 局限性与未来工作

• 局限性:
  • 实施验证缺失: 本案例截止于“说课”阶段（受疫情影响），缺乏真实课堂中学生的实时反应数据和学习效果评估（如考试成绩或情感态度问卷）。
  • 史料单一性: 过于集中在中国史料，虽然为了强调爱国情怀，但数学是人类共同的文化遗产，完全排斥西方视角（如忽视毕达哥拉斯学派对无理数的发现）可能导致另一种片面。
• 未来方向:
  • 在真实课堂中落地并收集学生反馈。
  • 开发更多HPM教学模组，不局限于几何，扩展到代数（如方程史）。

7.3. 个人启发与批判

• 启发: 这篇论文对教育工作者极具启发性。它打破了“数学就是做题”的刻板印象，展示了数学的人文底色。对于AI时代的教育，这种侧重于“数学思维产生过程”和“文化认同”的教学，比单纯的解题技巧训练更有价值。
• 批判:

  • 关于“爱国情怀”: 教学中需注意区分“事实陈述”与“情绪渲染”。强调中国古代成就很棒，但也要客观承认近代数学发展的落后，引导学生产生“复兴”的动力，而不仅仅是沉浸在过去的辉煌中。

  • 历史真实性: 专家提到的“假画像”问题非常普遍。在HPM教学中，教师必须具备基本的史学考证意识，区分“传说”（毕达哥拉斯杀牛庆祝）与“信史”（《九章算术》文本）。

    ---

自检报告:

1. 结构: 严格遵循七大章节结构。
2. 表格: 使用了HTML $<table>$ 呈现复杂的教学设计对比。
3. 公式: 勾股定理及赵爽弦图推导均使用 LaTeX 格式（$a^2+b^2=c^2$），且包含解释。
4. 术语: 解释了“HPM”、“核心素养”、“勾股定理”等概念。
5. 内容: 忠实于原文，详细分析了D老师的三次设计迭代过程。