1. 论文基本信息

1.1. 标题

数字图像离散小波变换系数噪声估计 (Digital Image Noise Estimation Using DWT Coefficients)

1.2. 作者

Varad A. Pimpalkhute, Rutvik Page, Ashwin Kothari (IEEE 高级会员), Kishor M. Bhurchandi (IEEE 会员), 和 Vipin Milind Kamble。 作者来自印度信息技术学院那格浦尔分校 (Indian Institute of Information Technology, Nagpur, IIITN) 和维斯维斯瓦拉亚国立技术学院 (Visvesvaraya National Institute of Technology, Nagpur, India)。

1.3. 发表期刊/会议

IEEE TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING。这是一个在图像处理领域享有盛誉和高影响力的期刊。

1.4. 发表年份

2021年

1.5. 摘要

噪声类型和强度估计在许多图像处理应用中至关重要，例如去噪 (denoising)、压缩 (compression) 和视频跟踪 (video tracking)。现有许多方法用于估计数字图像中的噪声类型及其强度，这些方法大多依赖于图像的变换域 (transform domain) 或空间域 (spatial domain) 信息。本文提出了一种混合离散小波变换 (Discrete Wavelet Transform, DWT) 和边缘信息移除的算法，用于估计数字图像中高斯噪声 (Gaussian noise) 的强度。通过使用 Sobel 边缘检测器 (Sobel edge detector) 从噪声估计计算中排除对应于空间域边缘的小波系数 (wavelet coefficients)。通过多项式回归 (polynomial regression) 进一步提高了所提出算法的准确性。Parseval 定理 (Parseval's theorem) 从数学上验证了所提出算法。该算法的性能在标准 LIVE 图像数据集上进行了评估。基准测试结果表明，所提出的算法在广泛的噪声范围内，以显著优势优于所有其他最先进的算法。

1.6. 原文链接

/files/papers/69259dae552dcd8811dc7346/paper.pdf (发布时间 UTC: 2021-01-01T00:00:00.000Z)

2. 整体概括

2.1. 研究背景与动机

在数字化的现代社会，数字图像和文档占据了生成数字数据的大部分。然而，图像采集过程中，无论成像传感器如何努力捕捉精确细节，图像中总是不可避免地伴随着一定量的噪声 (noise)。在低环境光、快速移动物体等更具挑战性的条件下，噪声的显著性会急剧增加。许多去噪 (denoising) 算法需要准确的噪声估计 (noise estimate) 才能有效去除噪声并获得高质量图像。这在生物医学成像 (biomedical imaging)、天文学图像 (astronomical images) 和卫星图像 (satellite images) 等对精度要求高的应用中尤为重要。虽然一些基于神经网络 (neural network-based) 的方法可以在没有噪声估计的情况下进行去噪，但这通常需要大量的训练数据 (training data) 且性能依赖于训练效率。

现有研究在噪声估计方面投入了大量关注，其应用日益广泛。然而，当前方法存在以下挑战或空白：

1. 准确性限制： 许多现有方法在面对高噪声水平时估计准确性不足 (例如 $\sigma > 40$)。

2. 计算成本： 一些方法通过选择最小图像内容区域来估计噪声，但这通常计算成本高昂。

3. 边缘信息干扰： 现有方法在处理变换域高频分量时，往往忽略了图像边缘对噪声估计的干扰，导致误差。

4. 非线性关系： 噪声特征与估计值之间的非线性关系在以往工作中未被充分考虑，导致估计不准确。

5. 适用范围有限： 许多算法的性能仅在有限的噪声标准偏差范围内保持一致。

   本文的切入点在于解决这些限制，通过结合空间域和变换域信息，并引入边缘信息移除和多项式回归，以实现对广泛范围高斯噪声的准确、鲁棒估计。

2.2. 核心贡献/主要发现

本文的主要贡献体现在以下几个方面：

1. 提出混合噪声估计算法： 提出了一种结合离散小波变换（DWT）和空间域边缘信息移除的混合算法，用于估计数字图像中的高斯噪声强度。这解决了传统方法要么只依赖空间域要么只依赖变换域信息的局限性。

2. 创新性边缘信息移除： 利用 Sobel 边缘检测器生成边缘图，并通过形态学膨胀和下采样，从 DWT 的 HH 子带 (HH sub-band) 中选择性地排除对应于边缘的小波系数，从而更纯净地提取噪声信息。

3. 引入多项式回归修正： 使用多项式回归来校正初步噪声估计值与真实噪声之间的非线性关系，显著提高了估计精度，尤其是在低噪声和高噪声水平下。

4. 数学理论支撑： 通过 Parseval 定理从数学上验证了所提出算法的合理性，证明噪声能量在 DWT 子带中的分布特性。

5. 计算效率高： 算法仅使用一级小波变换系数，降低了计算开销，使其能够实时 (real-time) 估计噪声。

6. 广泛噪声范围的鲁棒性： 在标准 LIVE 图像数据集上的基准测试结果表明，所提出的算法在广泛的噪声标准偏差（从 10 到 150）范围内，其性能显著优于所有其他最先进的算法，尤其是在中高噪声水平下表现卓越。

   核心发现是该混合算法在准确性、鲁棒性和计算效率方面均优于现有最先进的方法，为去噪等后续图像处理任务提供了更可靠的噪声估计。

3. 预备知识与相关工作

3.1. 基础概念

3.1.1. 数字图像噪声 (Digital Image Noise)

数字图像噪声是指在图像获取、传输或处理过程中引入的、不希望存在的随机扰动。它通常表现为图像像素值的随机变化，降低图像质量。本文主要关注高斯噪声 (Gaussian noise)，这是一种常见的噪声模型，其特点是噪声的概率密度函数服从高斯分布（正态分布），且通常是零均值 (zero-mean) 的。

3.1.2. 离散小波变换 (Discrete Wavelet Transform, DWT)

DWT 是一种将信号分解为不同频率子带的数学工具。它通过一系列高通滤波器 (high-pass filter) 和低通滤波器 (low-pass filter) 来实现。

• 高通滤波器 (High-pass filter): 允许高频信号通过，通常对应于信号中的细节信息，如边缘和噪声。

• 低通滤波器 (Low-pass filter): 允许低频信号通过，通常对应于信号中的近似信息，如平滑区域。 对于二维图像，DWT 会将图像分解为四个子带 (sub-bands)：

• LL (Low-Low): 经过行和列的低通滤波，包含图像的主要近似信息。

• LH (Low-High): 经过行低通、列高通滤波，包含水平边缘信息。

• HL (High-Low): 经过行高通、列低通滤波，包含垂直边缘信息。

• HH (High-High): 经过行和列的高通滤波，包含对角边缘信息和噪声。

  本文使用了 Haar 小波 (Haar wavelet) 作为基函数 (basis function)。Haar 小波是最简单的小波之一，定义为阶梯函数 (step function) $\psi ( t )$： $$\psi ( t ) = \left\{ { \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 \leq t < 1 / 2 } \\ { - 1 } & { 1 / 2 \leq t < 1 } \\ { 0 } & { o t h e r w i s e } \end{array} } \right.$$ Haar 小波的优势在于其可以通过积分图像 (integral images) 快速计算特征，并能简单有效地分析二维信号的局部特性。

3.1.3. 边缘检测 (Edge Detection)

边缘检测是图像处理中的基本任务，旨在识别图像中亮度或颜色发生显著变化的区域，这些区域通常对应于物体边界。边缘检测方法大致分为两类：

• 梯度法 (Gradient methods): 通过寻找图像一阶导数的极值来检测边缘。
• 拉普拉斯法 (Laplacian methods): 通过寻找图像二阶导数的零交叉点 (zero crossings) 来检测边缘。 本文使用了 Sobel 算子 (Sobel operator)，它是一种基于梯度的边缘检测器，在硬件实现方面比计算量大的拉普拉斯方法更高效。对于图像函数 f ( x , y )，梯度幅度 g ( x , y ) 和梯度方向 $\Theta ( x , y )$ 计算如下： $$\begin{array} { c } { g ( x , y ) \cong ( \Delta x ^ { 2 } + \Delta y ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \Theta ( x , y ) \cong a t a n \bigg ( \displaystyle \frac { \Delta y } { \Delta x } \bigg ) } \end{array}$$ 其中，$\Delta x = f ( x + n , y ) - f ( x - n , y )$ 表示水平方向的像素差分，$\Delta y = f ( x , y + n ) - f ( x , y - n )$ 表示垂直方向的像素差分，$n$ 通常取 1。

3.1.4. 多项式回归 (Polynomial Regression)

多项式回归是一种统计分析方法，用于拟合给定数据点集，构建一个多项式函数来描述输入变量与输出变量之间的非线性关系。它是在线性回归 (linear regression) 的基础上扩展的，允许通过增加多项式项来捕捉更复杂的曲线关系。本文使用均方根误差最小化方法 (Root Mean Square Error Minimization Method, RMSE) 来优化多项式回归。 RMSE 的计算公式如下： $$\ R M S E = { \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } ^ { \prime } - y _ { i } ) ^ { 2 } } { n } } }$$ 其中，$y_i$ 表示第 $i$ 个观测值的真实值，$y_i'$ 表示第 $i$ 个观测值的预测值，$n$ 是观测值的总数。RMSE 衡量了预测值与真实值之间的平均偏差。

3.1.5. Parseval 定理 (Parseval's Theorem)

Parseval 定理是信号处理中的一个基本定理，它表明一个信号在时域 (time domain) 或空间域 (spatial domain) 的能量（L2 范数平方和）等于其在变换域 (transform domain) 的能量。对于离散信号 x[n] 及其离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT) $X(e^{j\omega})$，定理表述为： $$\sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left| x [ n ] \right| ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } | X ( e ^ { j \omega } ) | ^ { 2 } d \omega .$$ 在 DWT 的上下文中，Parseval 定理意味着原始图像的能量等于其所有 DWT 子带系数能量的总和。这对于理解噪声能量在 DWT 子带中的分布至关重要。

3.2. 前人工作

噪声估计算法大致可分为空间域技术 (spatial domain techniques) 和变换域技术 (transform domain techniques)。

3.2.1. 空间域技术

• 基本原理： 直接使用像素值，主要利用图像内容的局部结构特性。自然图像中相邻像素之间存在相关性，噪声会扰乱这种相关性。
• 方法示例：
  • 局部方差法： 利用图像补丁 (image patches) 的统计信息，选择图像内容最少的补丁来估计噪声，因为这些区域的方差主要来源于噪声。但这种方法计算成本高，且对于高噪声水平（$\sigma > 15$）准确性不高 [10]。
  • PCA (Principal Component Analysis)： 使用 PCA 分离噪声分量 [11]。
  • 弱纹理补丁法： 通过阈值选择弱纹理补丁，计算成本高但性能较好 [12]。
  • 统计采样理论： 结合高斯噪声的分布特性进行噪声估计，使用较少的像素信息 [13]。

3.2.2. 变换域技术

• 基本原理： 将输入图像转换到新的域（如小波域、DCT 域），在该域中噪声和图像特征更容易分离。
• 方法示例：
  • DWT (Discrete Wavelet Transform)： 早期研究发现图像噪声能量主要集中在高通小波变换系数中。简单地使用变换域系数中值 (median) 即可有效估计噪声 [14]。但该方法在高噪声水平（$\sigma > 40$）下准确性不足。
  • DCT (Discrete Cosine Transform)： 除了小波变换，DCT 也用于噪声估计。有时使用峰度 (kurtosis) 而非中值作为噪声强度的指标 [16]。
  • 基于补丁的 DCT： 提取图像的噪声分量，但性能依赖于补丁大小 [27]。
  • 自然场景统计 (Natural Scene Statistics, NSS)： 观察到自然图像标准化 DCT 系数的方差具有尺度不变性，可用于噪声检测 [25]。
  • SVD (Singular Value Decomposition)： 适应性估计图像噪声，但在低噪声水平（$\sigma \leq 15$）下精度较高 [30]。
• 结合 DWT 和 DCT： 使用广义高斯分布 (Generalized Gaussian Distribution) 拟合变换域系数进行噪声估计 [29]。

3.2.3. 其他创新方法

• 有限差分滤波器 (Finite-difference filter)： 移除图像内容以方便噪声估计 [24]。
• 纹理表示工具： 如 Gabor 滤波器 [31] 和散射变换 (Scattering transform) [32] 用于选择最优区域进行噪声估计，但预处理步骤可能增加计算开销。
• 神经网络方法 (Neural network based approaches)： 近年来兴起，依赖于大量训练数据和训练效率。例如，使用模糊系统 (fuzzy system) [33]、遗传算法 (Genetic algorithm) 结合 ELM [34]、深度卷积神经网络 (deep convolutional neural network) 进行像素级噪声估计 [35]、以及粒子群优化 (particle swarm optimization) 确定 SVD 参数 [36]。

3.3. 技术演进与差异化分析

早期的噪声估计方法主要集中在单一域（空间域或变换域）内进行，并通常在有限的噪声范围内表现良好。空间域方法通过分析像素值变化或局部补丁统计来区分图像内容和噪声，但往往受限于图像内容本身的复杂性。变换域方法则利用噪声在高频分量中的集中性，但未充分解决边缘信息对高频系数的干扰。

本文与相关工作的核心区别和创新点在于：

1. 混合域策略： 本文首次提出了一种混合方法，同时利用 DWT 的变换域特性和 Sobel 边缘检测器的空间域信息。这使得算法能够更精确地分离噪声和图像内容。

2. 精确边缘信息移除： 过去的工作大多通过假设最小方差补丁或高频分量来避免图像内容干扰，但常常忽略了边缘信息对高频系数的显著影响。本文通过明确的边缘检测和形态学操作，从 HH 子带中移除对应于边缘的小波系数，从而获得更纯净的噪声估计。

3. 非线性关系校正： 针对噪声特征与估计值之间的非线性关系，本文引入了多项式回归进行校正。这显著提高了算法在宽泛噪声范围内的准确性，弥补了传统方法在低噪声和高噪声水平下的不足。

4. Parseval 定理的数学验证： 从数学上证明了噪声能量在 DWT 子带中的均匀分布，为从单一子带（HH 子带）估计整体噪声强度提供了理论依据。

5. 计算效率： 仅使用一级小波变换，相比多级分解或其他复杂变换，大大降低了计算开销，使其适用于实时应用。

   通过这些创新点，本文的方法解决了现有算法在噪声估计精度、适用范围和计算效率方面的诸多局限性。

4. 方法论

4.1. 方法原理

本文提出的噪声估计算法是一种混合方法，结合了离散小波变换（DWT）的变换域分析能力和 Sobel 边缘检测器的空间域信息。其核心思想是，高斯噪声的能量在 DWT 的 HH 子带中与对角边缘的能量高度集中。为了准确估计噪声强度，算法首先利用 Sobel 边缘检测器识别图像中的边缘区域，然后将这些边缘信息从 DWT 的 HH 子带中移除，以消除边缘对噪声估计的干扰。接着，利用 Parseval 定理，通过剩余的、纯粹代表噪声的 HH 子带系数来计算噪声的初步估计值。最后，通过多项式回归进一步校正这个初步估计值，以解决边缘检测不精确和图像纹理误判导致的非线性误差，从而获得最终的、更准确的噪声估计。

4.2. 核心方法详解

所提出的方法可以分为几个关键步骤，如图 2 所示。

该图像是示意图，展示了利用小波变换和边缘信息进行噪声估计的 proposed 方法。通过处理噪声图像，生成膨胀边缘图和下采样的反向边缘图，进而利用多项式回归估算噪声强度。

Fig. 2. Proposed method for estimation of noise.

4.2.1. 获取初始噪声估计 ($\sigma_{init}$)

4.2.1.1. DWT 分解

首先，对输入的数字图像进行一级离散小波变换 (DWT)。DWT 使用高通滤波器 $g$ 和低通滤波器 $h$ 将信号 x[n] 分解为高频分量 $y_{high}$ 和低频分量 $y_{low}$。 对于一维信号 x[n]，分解公式如下： $$\begin{array} { l } { { { y } _ { h i g h } [ k ] = \displaystyle \sum _ { n } x [ n ] . g [ 2 k - n ] } } \\ { { { y } _ { l o w } [ k ] = \displaystyle \sum _ { n } x [ n ] . h [ 2 k - n ] } } \end{array}$$ 其中，$y_{high}[k]$ 是高频分量（细节系数），$y_{low}[k]$ 是低频分量（近似系数），$g$ 是高通滤波器，$h$ 是低通滤波器，2k-n 表示下采样操作（down-sampling）。 由于图像是二维信号，DWT 分别应用于行和列。一级 DWT 将图像分解为四个子带：LL (低频近似)、LH (水平细节)、HL (垂直细节) 和 HH (对角细节)。其中，HH 子带主要包含图像的对角边缘信息和噪声。本文使用 Haar 小波作为基函数。

4.2.1.2. 边缘检测与边缘图 (Edge Map) 生成

为了从 HH 子带中去除边缘信息，首先需要识别图像中的边缘。本文使用 Sobel 算子检测图像边缘，生成一个二值边缘图 (Edge Map, EM)。EM 中的像素值为 1 表示边缘，0 表示非边缘。

4.2.1.3. 边缘图调整与膨胀 (Dilation)

由于 DWT 子带的尺寸是原始图像的一半（经过下采样），因此需要将 EM 调整到与 HH 子带相同的尺寸。通过沿行和列对 EM 进行 2 倍下采样 (down-sampling)，得到调整后的边缘图 $EM_r$。 接着，对 $EM_r$ 进行形态学膨胀操作。这是因为实际的边缘很少是单像素厚的，膨胀操作可以更好地表示实际边缘的宽度，确保更彻底地移除边缘系数。膨胀操作公式如下： $$E M _ { r d } = E M _ { r } \oplus k$$ 其中，$EM_{rd}$ 是膨胀后的边缘图，$EM_r$ 是调整尺寸后的边缘图，$\oplus$ 表示形态学膨胀操作，$k$ 是膨胀核 (structuring element) 的大小或形状。参数 $k$ 的选择至关重要：过小的 $k$ 无法完全移除模糊边缘对应的系数，导致噪声估计过高；过大的 $k$ 则会移除部分噪声对应的系数，导致噪声估计过低。本文通过实验确定了 $k$ 的最优值。

4.2.1.4. 反向边缘图与 HH 子带系数修正

为了直接从 HH 子带中移除边缘系数，需要一个反向边缘图 (inverted edge-map)。这个反向边缘图 $EM_{rdi}$ 是通过将 $EM_{rd}$ 中的 0 变为 1，1 变为 0 得到的： $$E M _ { r d i } = 1 - E M _ { r d }$$ 在 $EM_{rdi}$ 中，空间域的边缘位置被表示为 0，非边缘位置被表示为 1。 然后，将 HH 子带的系数矩阵 $W$ 与反向边缘图 $EM_{rdi}$ 进行哈达玛乘积 (Hadamard product)（即逐元素相乘）。 $$W _ { n e } = W \circ E M _ { r d i }$$ 其中，$W_{ne}$ 是修正后的 HH 子带系数矩阵。由于 $EM_{rdi}$ 在边缘位置为 0，哈达玛乘积将 $W$ 中对应边缘的系数置为 0，从而 $W_{ne}$ 仅包含对应于非边缘区域的 HH 子带系数，这些系数主要代表了噪声。

4.2.1.5. 基于 Parseval 定理的噪声强度计算

为了从修正后的 HH 子带系数 $W_{ne}$ 中估计噪声强度，本文利用了 Parseval 定理。实验观察到，对于零均值高斯噪声，其能量在 DWT 的四个子带（LL, LH, HL, HH）中是均匀分布的，每个子带约占总能量的 25%。

下图（原文 Figure 3）展示了二维高斯噪声在 DWT 子带中的能量分布，每个子带的能量占比均为 25%。

该图像是一个示意图，展示了2D高斯分布随机噪声能量的离散小波变换（DWT）分布。图中显示了总能量为100%的随机噪声在四个子带（LL、LH、HL、HH）中的各占25%。

Fig. 3. Energy distribution of Gaussian noise in 2D.

因此，从 $W_{ne}$ 中提取噪声能量足以确定总噪声能量或噪声强度。对于一个被零均值高斯噪声污染的图像 $I$，噪声的方差 $\sigma_n^2$ 可以通过 $W_{ne}$ 来计算。 修正后的 HH 子带 $W_{ne}$ 包含了 $25\%$ 或 $1/4$ 的噪声能量。因此，噪声方差 $\sigma_n^2$ 可以表示为： $$\sigma _ { n _ { e } } ^ { 2 } = \frac { 4 } { N ^ { 2 } } \times \sum _ { i , j \in H H } W _ { n e } ^ { 2 } ( i , j )$$ 其中，$\sigma_{n_e}^2$ 是估计的噪声方差，$N^2$ 是图像的总像素数（或者更准确地说是原始图像像素数，因为子带是下采样的，但这里公式直接使用了 $N^2$ 来归一化），$\sum _ { i , j \in H H } W _ { n e } ^ { 2 } ( i , j )$ 是修正后的 HH 子带系数的平方和。 将公式转换为标准偏差 $\sigma_{n_e}$ 的形式： $$\sigma _ { n _ { e } } = \frac { 2 } { N } \times \sqrt { \sum _ { i , j \in H H } W _ { n e } ^ { 2 } ( i , j ) }$$ 这个 $\sigma_{n_e}$ 被定义为初始噪声估计 $\sigma_{init}$： $$\sigma _ { i n i t } = \sigma _ { n _ { e } }$$ 这个方程在图像内容不为零均值的情况下也成立，因为 HH 子带系数主要对应于边缘和噪声，与图像的平均值无关。噪声被假设为零均值，因此不会增加图像的平均值。

4.2.2. 最终噪声估计 ($\sigma_{est}$) — 使用多项式回归

尽管通过边缘移除获得了更纯净的 HH 子带，但由于边缘检测器（如 Sobel）无法检测到图像中的所有微弱边缘，以及原始图像纹理可能被误判为噪声，导致 $\sigma_{init}$ 与真实噪声之间仍存在差异。为了弥补这些不准确性，本文引入了多项式回归。

多项式回归通过一个训练过程来建立 $\sigma_{init}$ 和真实噪声（$\sigma_{added}$）之间的映射关系。训练过程利用一组已知噪声水平的图像，计算它们的 $\sigma_{init}$，然后拟合一个多项式函数。 最终的噪声估计值 $\sigma_{est}$ 由 $\sigma_{init}$ 通过一个五阶多项式方程计算得到： $$\sigma _ { e s t } = p _ { 1 } \sigma _ { i n i t } ^ { 4 } + p _ { 2 } \sigma _ { i n i t } ^ { 3 } + p _ { 3 } \sigma _ { i n i t } ^ { 2 } + p _ { 4 } \sigma _ { i n i t } + p _ { 5 }$$ 其中，$p_1, p_2, p_3, p_4, p_5$ 是通过最小化均方根误差 (RMSE) 在训练数据上学习得到的多项式系数。这些系数补偿了低噪声水平下纹理对估计的影响、边缘检测器性能的不足以及高噪声水平下估计值饱和的非线性问题。

下图（原文 Figure 5）展示了在应用多项式回归之前的噪声估计值，可见其与真实值之间存在显著偏差，尤其是在低噪声区域。

该图像是一个图表，展示了标准图像在不同噪声水平下的噪声估计值。横轴表示噪声水平，纵轴表示估计的噪声值，包含四个测试图像（Lena、Barabara、Cameraman、Peppers）的数据点。随着噪声水平的增加，估计噪声逐渐上升，呈现出线性关系。

Fig. 5. Estimation before polynomial regression on standard images.

下图（原文 Figure 6）展示了应用多项式回归之后的噪声估计值，可见估计值与真实值之间的拟合度大大提高，证明了多项式回归的有效性。

该图像是一个图表，展示了标准图像在不同噪声水平下的噪声估计值。横轴为噪声水平，纵轴为估计噪声值，呈现出线性关系，四种标准图像（Lena、Barabara、Cameraman、Peppers）均在图中标出。

Fig. 6. Estimation after polynomial regression on standard images.

5. 实验设置

5.1. 数据集

实验使用了来自 LIVE 图像质量评估数据库 (LIVE Image Quality Assessment Database) Release 2 [46] 的标准图像。该数据集包含 29 张原始（无噪声）图像，这些图像涵盖了日常生活中各种物体和结构，具有丰富的纹理和内容多样性。在实验中，这些原始图像被视为零噪声图像。

以下是原文 Figure 1 中展示的用于训练或验证的示例图像，它们被添加了标准差 $\sigma = 20$ 的噪声：

该图像是插图，包含四张标准图像，分别标记为 (a) Lena、(b) Barbara、(c) Cameraman 和 (d) Peppers。这些图像均受到标准偏差 $\sigma = 20$ 的噪声影响，显示了不同类型的图像在噪声干扰下的视觉效果。

Fig. 1. Standard images corrupted by noise of standard deviation $\sigma = 2 0$ . 这些图像包括 (a) Lena, (b) Barbara, (c) Cameraman, 和 (d) Peppers，它们代表了图像处理领域常用的标准测试图像，具有广泛的纹理和内容多样性，有助于验证算法的通用性和鲁棒性。

5.2. 评估指标

本文采用百分比误差 (percent error, E) 来评估噪声估计的准确性。对于论文中出现的每一个评估指标，我们提供以下完整说明：

5.2.1. 百分比误差 (Percent Error, E)

• 概念定义 (Conceptual Definition): 百分比误差是一种衡量估计值与真实值之间相对差异的指标。它表示估计的噪声标准偏差与实际添加的噪声标准偏差之间的偏离程度，以百分比形式表示。较低的百分比误差表示更高的估计准确性。
• 数学公式 (Mathematical Formula): $$E = \frac { | \sigma _ { a d d e d } - \sigma _ { e s t } | } { \sigma _ { a d d e d } } \times 1 0 0$$
• 符号解释 (Symbol Explanation):
  • $E$: 噪声标准偏差估计的百分比误差。
  • $\sigma_{added}$: 实际添加到图像中的高斯噪声的标准偏差（真实值）。
  • $\sigma_{est}$: 算法估计的噪声标准偏差（估计值）。
  • $| \cdot |$: 绝对值运算符，确保误差为正值。
  • $\times 100$: 将结果转换为百分比形式。

5.2.2. 均方根误差 (Root Mean Square Error, RMSE)

• 概念定义 (Conceptual Definition): RMSE 是衡量预测值与真实值之间差异的常用指标。它计算所有预测误差平方的平均值的平方根，能够反映预测值偏离真实值的大小，对大误差比较敏感。在本文中，RMSE 主要用于优化多项式回归模型，以找到最佳的多项式系数，使回归函数能够最好地拟合 $\sigma_{init}$ 与 $\sigma_{added}$ 之间的关系。
• 数学公式 (Mathematical Formula): $$\ R M S E = { \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( y _ { i } ^ { \prime } - y _ { i } ) ^ { 2 } } { n } } }$$
• 符号解释 (Symbol Explanation):
  • RMSE: 均方根误差。
  • $y_i$: 第 $i$ 个观测值的真实值（在本文中对应于 $\sigma_{added}$）。
  • $y_i'$: 第 $i$ 个观测值的预测值（在本文中对应于多项式回归后的 $\sigma_{est}$）。
  • $n$: 观测值的总数。
  • $\sum_{i=1}^{n}$: 对所有观测值进行求和。

5.3. 对比基线

本文将所提出的算法与以下最先进的噪声估计算法进行了比较：

• Donoho 等人 [14]： 这是基于 DWT 系数中值的一种经典噪声估计算法，通常以其简单性著称。

• Immerkær 等人 [47]： 一种快速噪声方差估计算法。

• Liu 等人 [12]： 一种从单一图像估计信号相关噪声参数的方法，可能涉及补丁选择。

• Kamble 等人 (ST) [13]： 基于随机条件选择和采样理论的无参考噪声估计算法。

  这些基线方法涵盖了基于 DWT 的经典方法、快速估计方法以及结合统计理论的方法，具有较好的代表性，能够全面评估本文方法的性能。

5.4. 实验环境与多项式系数训练

实验在一个配备 Intel(R) Core(TM) i5-7200U 2.50 GHz 处理器、8.00GB RAM，运行 Windows 10 Home 操作系统的计算机上，使用 MATLAB 环境进行。

在正式验证算法之前，首先需要训练得到多项式回归的系数。这个过程使用了 Figure 1 中展示的一组标准图像（Lena, Barbara, Cameraman 和 Peppers），这些图像预期包含广泛的真实纹理。 具体步骤如下：

1. 向这些图像中逐一添加已知噪声水平 ($\sigma_{added}$)，范围从 10 到 150，步长为 10。

2. 使用第 4.2.1.5 节中描述的 DWT 和边缘移除步骤，计算出每个图像在不同 $\sigma_{added}$ 下的初始噪声估计值 ($\sigma_{init}$)。

3. 这个过程对每个图像和每个噪声水平重复 100 次，以获得鲁棒的 $\sigma_{init}$ 向量。

4. 将这些 $\sigma_{init}$ 向量进行逐元素平均，形成一个单一的 $\sigma_{init}$ 向量。

5. 使用这个平均后的 $\sigma_{init}$ 向量和对应的 $\sigma_{added}$ 向量，通过多项式回归（RMSE 最小化）来学习多项式方程（公式 13）的系数。

   最终得到的高斯噪声估计多项式系数如下： $$\begin{array} { l } { { p _ { 1 } = - 5 . 0 8 9 \times 1 0 ^ { - 0 8 } ; p _ { 2 } = 1 . 6 9 2 \times 1 0 ^ { - 0 5 } ; } } \\ { { \ p _ { 3 } = - 0 . 0 0 1 8 7 1 ; p _ { 4 } = 1 . 3 8 6 ; p _ { 5 } = - 0 . 6 1 0 9 ; } } \end{array}$$ 这些系数的训练确保了算法的最大鲁棒性和准确性。值得注意的是，用于训练回归系数的图像与用于最终性能验证的 LIVE 数据集图像是相互独立的 (mutually exclusive)，以保证评估的公平性。

6. 实验结果与分析

6.1. 核心结果分析

6.1.1. 膨胀参数 $k$ 的影响

在第 4.2.1.3 节中，对边缘图进行膨胀操作时，膨胀核的参数 $k$ 对算法性能有显著影响。为了找到最优的 $k$ 值，作者在 LIVE 数据集上进行了实验，测试了 $k$ 从 1 到 5 的不同取值。

以下是原文 Table II 展示的 $k$ 对算法性能的影响：

TABLE II EfFect oF $k$ ON THE ALGORITHM'S PERFORMANCE

分析： 从 Table II 可以看出，当 $k=2$ 时，算法在 Bikes 和 Caps 图像上的平均误差最低，在 Monarch 图像上的误差也较低。对于 Rapids 图像，虽然 $k=3$ 时误差最低，但总体而言，$k=2$ 在多个图像上提供了最佳的综合性能。这是因为 $k=2$ 能够实现从 HH 子带中最佳地移除边缘系数，避免了移除不足（导致过高估计）或移除过多（导致过低估计）的问题。因此，实验确定了 $k=2$ 为最优膨胀参数。

6.1.2. 不同边缘检测器的性能比较

本文提出方法的核心之一是使用边缘检测器移除边缘信息。作者比较了 Sobel 算子与其他主要边缘检测器（如 Canny、Roberts 和 Prewitt）的性能。

以下是原文 Table IV 展示的不同边缘检测器的性能：

TABLE IV Performance Using Different Edge Detectors

分析： 尽管 Roberts 边缘检测器在平均估计误差上略低于 Sobel，但两者在误差上的差异非常微小。然而，Sobel 算子的平均计算时间为 55.45 毫秒，略快于 Roberts 的 55.63 毫秒，且远快于 Canny 算子的 101.22 毫秒。考虑到性能差异微乎其微，但 Sobel 算子在计算时间上具有优势，因此本文选择了 Sobel 边缘检测器。

6.1.3. 算法在 LIVE 数据集上的性能

本文提出的算法在 LIVE 数据集上进行了验证，测试了不同添加噪声水平 ($\sigma_{added}$) 下的性能。

以下是原文 Table III 展示的算法在 LIVE 数据集上的性能（百分比误差）：

TABLE III PefORmanc f Th opse MOdel LivE atset foRGAuSSiaNoiEtati AN $\%$ ERror IN $\sigma _ { e s t }$

分析：

• 低噪声水平： 当 $\sigma_{added} = 10$ 时，平均百分比误差 ($E_{avg}$) 为 2.24%，相对较高。这主要是因为在低噪声水平下，图像的自然纹理容易被误判为噪声，且原始图像本身可能包含与添加噪声水平相当的固有噪声。

• 中高噪声水平： 随着 $\sigma_{added}$ 从 20 增加到 110，百分比误差显著降低，稳定在 0.15% 到 0.94% 之间，表现出极高的准确性。这表明多项式回归有效地补偿了边缘检测不完善和纹理误判的影响。

• 极高噪声水平： 在 $\sigma_{added} = 120$ 到 140 之间，误差略有上升，然后再次下降。作者解释说，这是因为在高噪声内容下，图像边缘被破坏，影响了边缘检测的准确性。然而，当 $\sigma_{added} > 140$ 时，噪声内容开始主导被破坏的边缘内容，误差再次降低。

• 总体平均误差： 在整个噪声范围内，算法在不同图像上的平均百分比误差都非常低，例如 Bikes 为 0.79%，Caps 为 0.44%，Lighthouse 为 0.29%，Monarch 为 0.34%。LIVE 数据集所有图像的总体平均误差为 0.50%。

  下图（原文 Figure 8）展示了平均百分比误差随 $\sigma_{added}$ 变化的趋势：

  该图像是图表，展示了在不同噪声水平 ext{(}oldsymbol{ ilde{ u}}_{ ext{added}} ext{)} 下，噪声估计的百分比误差变化。随着噪声水平的增加，估计误差逐渐降低，最终趋于稳定，表明噪声水平对误差的影响随着增加而减小。

Fig. 8. Average $\%$ error in $( E _ { a v g } )$ in noise estimation vs. $\sigma _ { a d d e d }$ .

分析： 该图清晰地展示了误差趋势。在低噪声（$\sigma_{added} = 10$）时误差较高，但很快随噪声增加而降低，并在 $\sigma_{added}$ 大于 20 后保持在非常低的水平，显示了算法在宽泛噪声范围内的稳定性和准确性。

6.1.4. 与其他最先进算法的基准比较

为了全面评估所提出算法的性能，作者将其与第 5.3 节中列出的其他最先进算法进行了比较。比较分为低噪声水平 ($\sigma_{added} \le 30$) 和高噪声水平 ($\sigma_{added} > 30$) 两部分。

以下是原文 Table V 展示的与其他算法的基准比较结果：

TABLE V BENCHMarKinG OF THE PROPOsED METHod fOR $\sigma _ { e s t }$

分析：

• 低噪声水平 ($\sigma_{added} \le 30$)： 在低噪声水平下，所提出的算法性能与现有基准算法相当，甚至在某些情况下（如 Monarch 图像）表现更好。例如，对于 Monarch 图像，Proposed 算法的误差为 0.29%，远低于其他算法。

• 高噪声水平 (\sigma_{added} &gt; 30)： 在高噪声水平下，所提出的算法表现出显著优势，其平均误差远低于所有其他对比算法。例如，在 Bikes 图像上，Proposed 算法的误差仅为 0.83%，而其他算法的误差均在 5% 以上，甚至高达 14%。这充分验证了多项式回归在处理非线性关系和宽泛噪声范围方面的有效性。

  下图（原文 Figure 7）可视化了不同算法在 LIVE 数据集上不同噪声水平下的平均误差趋势：

  该图像是图表，展示了在添加噪声 ext{(}oldsymbol{ ho}_{ ext{added}} ext{)} 不同情况下，提议方法和其他算法（Donoho、Immerkar、Liu、ST）的估计噪声 ext{(}oldsymbol{ ho}_{ ext{est}} ext{)} 的比较，图中包含四个子图：Bikes、Caps、Monarch 和 Rapids。

Fig. 7. Benchmarking of proposed method on LIVE dataset using average of 100 trials.

分析： 从 Figure 7 可以明显看出，在所有图像上，所提出方法的噪声估计值与真实值非常接近，并且在宽泛的噪声范围内，其性能一致性几乎完美，明显优于其他基准算法，尤其是在高噪声区域。

6.1.5. 算法一致性与鲁棒性

为了验证算法的一致性，作者对 LIVE 数据集中的图像进行了 100 次迭代测试，并计算了估计值的平均误差和标准差。

以下是原文 Table I 展示的 $\sigma_{est}$ 在 100 次试验中的变异性：

TABLE I VARiatioN IN $\sigma _ { e s t }$ Over 100 Trials

分析： Table I 显示，经过 100 次迭代，所提出算法的平均误差低于 0.65%，标准差误差低于 0.05%。这表明算法在多次运行中具有高度的一致性和鲁棒性，能够精确估计噪声含量。

此外，为了证明算法的普适性，作者还评估了算法输出与德克萨斯大学图像与视频工程实验室提供的被白噪声污染图像数据集的已知噪声值之间的相关性。

以下是原文 Table VI 展示的所提出方法估计值与白噪声标准结果的相关性：

TABLE VI CORRELATION OF PROPOsED METHOD ESTIMaTES WITH STANdaRD ResuLTS on WHITE Noise

分析： Table VI 中的相关性结果表明，所提出算法与真实噪声值之间的相关系数为 0.9020，高于所有其他基准算法。这进一步证明了所提出算法在各种噪声图像上具有卓越的一致性和准确性。

6.2. 消融实验/参数分析

尽管论文没有明确提及“消融实验 (Ablation Study)”这个术语，但对膨胀参数 $k$ 和不同边缘检测器性能的分析（如 Table II 和 Table IV 所示）可以被视为一种参数分析。这些分析验证了算法中关键组件（边缘移除策略和边缘检测器选择）的有效性以及最佳参数配置。通过实验确定 $k=2$ 能够最佳地移除边缘能量，以及 Sobel 算子在速度和精度之间取得了良好的平衡，这些都支持了方法设计的合理性。

7. 总结与思考

7.1. 结论总结

本文提出了一种鲁棒且准确的数字图像高斯噪声估计算法。该方法的核心创新在于其混合策略：

1. DWT 域分析： 利用一级离散小波变换 (DWT) 将图像分解，并专注于 HH 子带，因为该子带集中了对角边缘和噪声能量。

2. 空间域边缘移除： 结合 Sobel 边缘检测器在空间域识别图像边缘，并通过膨胀和哈达玛乘积操作，从 HH 子带中选择性地移除对应于边缘的小波系数，从而获得更纯净的噪声信号。

3. 数学理论支撑： Parseval 定理从数学上验证了从 HH 子带能量估计总噪声强度的合理性。

4. 多项式回归修正： 通过多项式回归对初步噪声估计值进行非线性校正，显著提高了在宽泛噪声范围内的估计准确性。

   实验结果表明，该算法在 LIVE 标准图像数据集上，从低噪声 ($\sigma_{added}=10$) 到高噪声 ($\sigma_{added}=200$) 范围内，均表现出卓越的性能。尤其是在中高噪声水平下，其准确性远超其他最先进的算法，且计算成本较低。算法的平均误差和标准差在多次迭代中均保持在极低水平，证明了其高度的一致性和鲁棒性。

7.2. 局限性与未来工作

论文作者指出了以下局限性：

1. 低噪声水平误差： 在噪声标准偏差 $\sigma_{added}=10$ 时，噪声估计的误差相对较高。这是因为在低噪声环境下，图像的自然纹理容易被误判为噪声，且原始图像固有的微弱噪声可能与添加的噪声水平相当。

2. 极高噪声水平影响： 当噪声标准偏差高于 100 时，图像结构（包括强边缘）会被严重扭曲，这会影响边缘检测的准确性，进而影响噪声估计精度。

   作者提出的未来研究方向是：

• 将该工作扩展到估计其他类型的噪声，而不仅仅是高斯噪声。
• 结合感知质量评估 (perceptual quality evaluation) 来进一步优化噪声估计。

7.3. 个人启发与批判

7.3.1. 个人启发

这篇论文的混合方法提供了一个优雅且高效的解决方案，它在传统方法的基础上，通过巧妙地结合不同领域的优势，弥补了各自的不足。

1. 混合方法的潜力： 启发在于，当单一领域（空间域或变换域）的方法遇到瓶颈时，尝试结合多个领域的互补信息往往能带来突破。例如，在自然语言处理中，结合句法结构（语法分析）和语义信息（词嵌入）通常能获得更好的理解效果。
2. 细致的噪声分离： 通过明确地移除边缘信息来纯化噪声信号，这种细致的处理方式是提升准确性的关键。这提示我们在处理信号时，要尽可能地将目标信号与干扰信号分离。
3. 回归校正的重要性： 即使有了理论支撑和精细分离，实际系统中仍存在误差和非线性。多项式回归作为一种简单的后处理步骤，却能大幅提升最终结果的准确性，这强调了系统调优和误差补偿的重要性。在机器学习中，这类似于模型集成或后处理校准。
4. 计算效率与实用性： 仅使用一级 DWT 降低了计算复杂度，使其适用于实时应用。这提醒我们在追求高精度的同时，不应忽视算法的实际部署成本。

7.3.2. 批判

尽管该论文提出了一个性能卓越的算法，但仍存在一些可以讨论或改进的地方：

1. 多项式回归的泛化能力： 多项式回归的系数是通过特定数据集（Lena, Barbara, Cameraman, Peppers）训练得到的。虽然这些是标准图像，但它们可能无法完全代表所有可能的图像纹理和内容。在面对高度专业化或特定领域（如医学图像、卫星图像）的图像时，这些回归系数的泛化能力可能需要重新评估，甚至可能需要针对特定应用重新训练。这引入了算法的数据依赖性 (data dependency)。

2. 边缘检测器的选择局限性： 尽管 Sobel 算子在速度和性能之间取得了平衡，但它仍然是一种相对简单的边缘检测器，可能无法在所有复杂场景中都提供“完美”的边缘图。例如，在低对比度区域或非常细微的纹理中，Sobel 可能表现不佳。更先进的边缘检测技术（如基于深度学习的边缘检测器）或许能提供更精确的边缘信息，但会增加计算开销。

3. Haar 小波的局限性： Haar 小波是最简单的小波，具有计算效率高、局部化好的优点，但其在平滑度（光滑性差）和方向选择性上不如其他复杂小波（如 Daubechies 小波、Symlets 小波）。对于某些图像类型，选择其他小波基可能能捕获更丰富的方向性信息，从而更精确地分离边缘和噪声。

4. 噪声模型： 论文主要关注零均值高斯噪声。在现实世界中，图像可能受到多种噪声（如椒盐噪声、泊松噪声等）或混合噪声的污染。将方法扩展到这些更复杂的噪声模型需要进一步研究。

5. $k$ 参数的通用性： 膨胀参数 $k=2$ 是通过实验在 LIVE 数据集上确定的最优值。这个值是否对所有类型的图像或所有应用场景都通用，还需要进一步验证。在实际应用中，可能需要根据具体图像特性进行自适应调整。

6. 可视化分析欠缺： 论文展示了定量结果，但如果能提供更多定性分析，例如在去噪前后图像的视觉对比，或者不同噪声水平下 HH 子带在边缘移除前后的可视化，将更有助于读者直观理解算法的效果。

   总的来说，该论文为数字图像噪声估计提供了一个高效且高精度的解决方案，其混合方法和回归校正的思路具有很强的借鉴意义。然而，对于其在更广泛和复杂应用场景中的普适性，以及潜在的进一步优化空间，仍值得深入探讨。