1. 论文基本信息

1.1. 标题

Robust model predictive control for heat exchanger network (换热器网络鲁棒模型预测控制)

1.2. 作者

Monika Bakosova, Juraj Oravec

1.3. 发表机构

Slovak University of Technology in Bratislava, Faculty of Chemical and Food Technology, Institute of Information Engineering, Automation and Mathematics, Radlinskeho 9, 812 37 Bratislava, Slovak Republic

1.4. 发表年份与状态

本文于2014年1月7日收到，2014年8月8日接受，并于2014年8月28日在线发布。 发表期刊：未明确提及，但格式类似于期刊文章。

1.5. 摘要

换热器（Heat Exchanger）的优化运行在控制角度看是一项具有挑战性的任务，原因在于系统存在非线性（nonlinearities）、变化的工艺参数（varying process parameters）、内部和外部扰动（internal and external disturbances）以及测量噪声（measurement noise）。为克服这些问题，研究人员开发了各种鲁棒控制（Robust Control）策略。鲁棒模型预测控制（Robust Model Predictive Control, RMPC）是其中一种合适的途径。它能够设计有效的控制算法，以优化控制性能，同时考虑过程不确定性（process uncertainties）以及输入和输出约束（input and output constraints）。

本文研究了在换热器网络（Heat Exchanger Network, HEN）中实现 RMPC 的可能性。所控制的过程是三个串联的逆流换热器，其参数具有不确定性。通过在 MATLAB/Simulink 环境中进行的仿真实验，验证了先进 RMPC 算法的效率。结果证实，与使用最优线性二次（Linear Quadratic, LQ）控制相比，将 RMPC 应用于建模为具有不确定参数的受控过程，可以显著减少冷却介质（cooling medium）的消耗。

1.6. 原文链接

/files/papers/69365b86325b5ce79291fc79/paper.pdf

2. 整体概括

2.1. 研究背景与动机

论文试图解决的核心问题： 换热器及其网络在化工和流程工业中至关重要，但其运行面临诸多挑战，包括系统非线性、变化的工艺参数、内部/外部扰动和测量噪声。这些因素使得换热器的优化运行和节能控制变得复杂。传统控制方法在面对这些不确定性时，往往难以保证良好的控制性能和能源效率。

为什么这个问题在当前领域是重要的： 能源消耗是工业设备运营的第二大成本，尤其是在热传递领域，约占总能源消耗的80%。随着能源价格的不断上涨，提高能源利用效率和减少能源消耗变得愈发重要。先进的控制策略是实现这一目标的关键途径之一。

现有研究存在的具体挑战或空白： 现有的换热器控制策略，如传统 PID 控制，在面对不确定性和约束时性能有限。虽然模型预测控制（MPC）已被证明是有效的，但其鲁棒性不足以应对各种不确定性。特别是，针对带有不确定性的换热器网络的鲁棒模型预测控制（RMPC）应用，以及将其与传统最优控制（如 LQ 控制）进行系统性比较以评估其节能效果的研究，相对较少。

这篇论文的切入点或创新思路： 本文的创新点在于将 RMPC 应用于一个具有不确定参数的复杂换热器网络。通过将不确定系统建模为多面体不确定系统（polytopic uncertain system），并将 RMPC 设计问题转化为线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequalities, LMI）形式的凸优化问题，从而在存在参数不确定性和输入/输出约束的情况下，实现对换热器网络温度的鲁棒控制并优化冷却介质的消耗。

2.2. 核心贡献/主要发现

论文最主要的贡献：

1. RMPC 在不确定 HEN 中的应用： 首次提出了将 RMPC 应用于具有不确定参数的串联换热器网络（包含三个逆流换热器）的案例研究。
2. LMI 优化框架： 设计的 RMPC 基于线性矩阵不等式（LMI）形式的优化问题，通过半定规划（SDP）求解，实现了在不确定性和约束条件下的鲁棒控制。
3. 节能效果验证： 通过仿真实验，证明了 RMPC 在大多数情况下能比最优线性二次（LQ）控制更有效地减少冷却介质消耗。

论文得出的关键结论或发现：

1. 鲁棒性优势： 在存在不确定性（即控制顶点系统）的情况下，RMPC 相较于 LQ 控制能够确保更小的稳态偏移（steady-state offsets）和更低的冷却剂消耗。LQ 控制仅在理想的标称系统（nominal system）下表现最佳。
2. 节能效果显著： RMPC 在约 20 分钟的模拟时间内，可以将冷却水消耗减少高达 10%，尤其在较大扰动情况下效果更佳。
3. 控制精度提升： 与 LQ 最优控制相比，鲁棒反馈控制方法将换热器出口油品温度的稳态偏移降低了大约 40% 到 50%。
4. 计算成本： 虽然 RMPC 带来了性能提升和节能效果，但也伴随着更高的计算负担。

3. 预备知识与相关工作

3.1. 基础概念

为了更好地理解本文，需要了解以下核心概念：

• 换热器网络 (Heat Exchanger Network, HEN)：

  • 概念定义： 换热器网络是由多个换热器（将热量从一个流体传递到另一个流体的设备）通过特定的管道连接方式组成的系统。这些网络旨在实现热量的有效回收和利用，以降低整体能源消耗。在本文中，HEN 由三个串联的逆流壳管式换热器组成。
  • 目的： 主要目标是优化换热器的利用，并对换热器网络进行改造，以减少能源消耗和消除能源损失。

• 模型预测控制 (Model Predictive Control, MPC)：

  • 概念定义： 模型预测控制是一种先进的控制策略，它在每个控制周期内，利用系统的数学模型来预测系统未来的行为。然后，它通过求解一个优化问题来计算一系列最优的控制输入序列，使得在预测时域内，系统的输出尽可能接近参考值，同时满足各种操作约束（如输入限幅、输出限幅）。最终，只有计算出的最优序列的第一个控制输入被施加到实际系统中，然后在下一个控制周期重复此过程。
  • 特点： MPC 能够自然地处理多变量系统、系统约束以及前馈控制。
  • 优化问题： MPC 设计通常基于一个二次成本函数（quadratic cost function）的最小化，该函数惩罚控制性能的不足和控制动作的消耗。

• 鲁棒模型预测控制 (Robust Model Predictive Control, RMPC)：

  • 概念定义： 鲁棒模型预测控制是 MPC 的一个扩展，专门设计用于处理系统中的不确定性（如模型误差、参数变化、外部扰动等）。RMPC 的目标是即使在最坏情况（worst-case）的不确定性下，也能保证系统的稳定性和性能，同时满足所有约束。
  • 处理不确定性： 本文通过将不确定系统建模为多面体不确定系统（polytopic uncertain system）来处理不确定性。
  • LMI 形式： RMPC 的设计通常涉及将优化问题转化为线性矩阵不等式 (Linear Matrix Inequalities, LMI)形式，这是一种凸优化问题，可以通过半定规划（Semidefinite Programming, SDP）有效求解。

• 线性二次（最优）控制 (Linear Quadratic Optimal Control, LQ Control)：

  • 概念定义： 线性二次最优控制是一种经典的、广泛使用的最优控制方法，它为线性系统设计控制器，以最小化一个二次型成本函数。该成本函数通常惩罚状态变量的偏差（偏离期望值）和控制输入的能耗。LQ 控制器能够提供最优的反馈增益矩阵，但其性能对模型精确性敏感，且通常不直接处理系统约束和不确定性。
  • 作用： 在本文中，LQ 控制作为 RMPC 的参考（baseline）策略，用于比较性能。

• 多面体不确定系统 (Polytopic Uncertain System)：

  • 概念定义： 多面体不确定系统是一种建模不确定性的方法，其中系统的参数被认为在一个由几个“顶点系统”（vertex systems）定义的凸多面体内部变化。这意味着，如果系统的真实参数是未知的，但已知它们在一个确定的范围内变化，那么可以将系统的行为表示为这些顶点系统行为的凸组合。
  • 应用： 本文使用此方法来处理换热器中不确定的传热系数 $U$ 和石油密度 $ρ2$，通过生成四个顶点系统来覆盖这些不确定参数的边界值组合。

• 线性矩阵不等式 (Linear Matrix Inequalities, LMI)：

  • 概念定义： 线性矩阵不等式是形如 F(x) = F_0 + \sum_{i=1}^m x_i F_i \succ 0 的表达式，其中 $x$ 是一个实变量向量，$F_0, F_i$ 是对称矩阵，$\succ 0$ 表示矩阵是正定的。LMI 在控制理论中非常重要，因为许多复杂的控制问题（如鲁棒稳定性、控制器设计）都可以被重新表述为LMI问题，从而可以利用高效的凸优化工具进行求解。
  • 求解： LMI 问题属于凸优化问题，可以使用半定规划 (Semidefinite Programming, SDP)求解器（如本文中使用的 SeDuMi）来解决。

3.2. 前人工作

文章引用了多篇关于热过程先进控制的研究：

• [3] 提到了使用预测功能控制 (Predictive Functional Control)对逆流管式换热器出口温度进行控制，该方法基于内部自适应模型。
• [5] 介绍了基于锅炉-汽轮机分段仿射模型的显式 MPC (Explicit MPC)设计。
• [6] 提出了针对双曲分布热系统的非线性 MPC (Nonlinear MPC)配置，并需要开发神经网络功能。
• [7] 使用神经网络预测控制 (Neural Network Predictive Control, NNPC)控制并流管式换热器，并显示出相较于传统 PID 控制的节能优势。
• [8, 9, 10] 提到了模糊控制、基于平衡的自适应控制和在线自适应最优控制等方法。
• [12] 证明了 RMPC 策略在化学反应器控制中能提供节能。
• [13] 指出 RMPC 策略可以降低管式和夹套式换热器的能源消耗。
• [14] 研究了 RMPC 在实际实验室设备上的应用。
• [15] 设计了 HEN 的 RMPC 以增加节能。

本文与前人工作的差异化分析： 虽然前人研究探讨了 MPC 和 RMPC 在各种热过程中的应用，但本文强调其主要贡献在于将 RMPC 应用于具有不确定参数的换热器网络的控制，并将其设计为 LMI 形式的优化问题。作者指出，据其所知，其他作者尚未发表过针对带有不确定性的 HEN 进行 RMPC 控制的案例研究，这构成了本文的独特之处。

4. 方法论

本文的目标是为由三个串联逆流壳管式换热器组成的换热器网络 (HEN) 设计鲁棒模型预测控制器 (RMPC)，以在存在不确定性和约束的情况下，将石油出口温度冷却到参考值，并最小化冷却介质的消耗。

4.1. 受控过程描述

受控过程由三个串联的逆流壳管式换热器组成（如图1所示），用于冷却炼油厂产品石油。石油流经内管，冷却水则流经换热器壳体外部。换热器管由钢制成。

目标是：

1. 将第三个换热器出口的石油温度冷却到参考值 $45.3 \text{ }^{\circ}C$。
2. 最小化以冷却剂总消耗量衡量的能源利用。 操纵输入是进入第三个换热器的冷水体积流量。

以下是原文 Figure 1 的示意图：

图1：逆流壳管式换热器网络示意图；1是冷却水，2是热石油，(1)-(3)是换热器。

4.2. 换热器网络数学模型

HEN 的数学模型是基于热平衡（heat balances）推导的，并进行了一些简化假设：

• 金属壁的热容量可忽略不计。

• 换热器绝缘良好，与环境的热损失和机械功效应可忽略不计。

• 工艺参数是常数或在一定区间内变化。

  热平衡方程组（1）描述了 HEN 的六个一阶微分方程： $$\begin{array}{rl} & {V_{1}\rho_{1}c_{p,1}\frac{\mathrm{d}T_{1}^{(j)}(t)}{\mathrm{d}t} = -q_{1}(t)\rho_{1}c_{p,1}T_{1}^{(j)}(t) + q_{1}(t)\rho_{1}c_{p,1}T_{1}^{(j+1)}(t) + \frac{\mathcal{A}_{\mathrm{h}}U}{2}\Big(\left(T_{2}^{(j)}(t) - T_{1}^{(j+1)}(t)\right) + \left(T_{2}^{(j-1)}(t) - T_{1}^{(j)}(t)\right)\Big)}\\ & {V_{2}\rho_{2}c_{p,2}\frac{\mathrm{d}T_{2}^{(j)}(t)}{\mathrm{d}t} = q_{2}(t)\rho_{2}c_{p,2}T_{2}^{(j-1)}(t) - q_{2}(t)\rho_{2}c_{p,2}T_{2}^{(j)}(t) - \frac{\mathcal{A}_{\mathrm{h}}U}{2}\Big(\left(T_{2}^{(j)}(t) - T_{1}^{(j+1)}(t)\right) + \left(T_{2}^{(j-1)}(t) - T_{1}^{(j)}(t)\right)\Big)}\\ & {T_{1}^{(j)}(0) = T_{1}^{(j),0},T_{2}^{(j)}(0) = T_{2}^{(j),0}} \end{array} \quad (1)$$ 其中：

• $j=1,2,3$ 分别表示第1、第2和第3个换热器。

• 下标 1 和 2 分别表示水和石油。

• $V$ 是体积（volume）。

• $\rho$ 是密度（density）。

• $c_{p}$ 是比热容（specific heat capacity）。

• $t$ 是时间（time）。

• T(t) 是随时间变化的温度。

• q(t) 是随时间变化的体积流量（volumetric flow rate）。

• $\mathcal{A}_{\mathrm{h}}$ 是传热面积（heat transfer area）。

• $U$ 是总传热系数（overall heat transfer coefficient）。

• $T_{1}^{(j),0}$ 和 $T_{2}^{(j),0}$ 是初始条件。

4.3. 不确定性建模

本文考虑了两个不确定参数：

1. 总传热系数 $U$： 随冷却介质流量的变化而变化。
2. 石油密度 $\rho_2$： 取决于换热器内的温度。 这些参数的取值范围如表3所示：

以下是原文 Table 3 的结果：

表3：换热器不确定参数。

为了处理这些参数不确定性，本文采用了多面体不确定系统 (polytopic uncertain system)的方法。通过不确定参数的边界值（最小值和最大值）的所有组合，生成了四个顶点系统 (vertex systems)。每个顶点系统都由六个常微分方程（式1）描述。此外，还创建了一个标称系统 (nominal system)，其参数取不确定参数的平均值，作为参考系统。

4.4. 线性化与离散化

为了设计鲁棒控制器，非线性状态空间模型（式1）通过一阶泰勒展开进行线性化，得到HEN的线性状态空间模型。该模型对于标称系统和每个顶点系统都是六个普通线性微分方程的形式。

由于 RMPC 是一种离散时间控制策略，连续时间模型需要转换为离散时间域。转换使用 MATLAB 的 Cdml 命令完成，采样时间 $t_s = 25 \text{s}$。采样时间的选取需要保证离散时间模型能够足够准确地匹配非线性模型的行为。

线性离散时间状态空间模型具有以下形式： $$\Delta T(k + 1) = A_{\text{u}}\Delta T(k) + B_{\text{u}}\Delta q_2(k),\quad \Delta T(0) = \Delta T_0\quad (2)$$ 其中：

• 下标 $\nu = 0$ 表示标称系统。
• 下标 $\nu = 1, \ldots , 4$ 表示顶点系统。
• $k$ 是离散时间步。
• 控制输入向量 $\Delta q_2(k)$ 和受控输出向量 $\Delta T(k)$ 定义为实际值与稳态值之间的差值，如式(3)所示： $$\Delta T(k) = \left[ \begin{array}{c}T_{1}^{(1)}(k)\\ T_{2}^{(1)}(k)\\ T_{1}^{(2)}(k)\\ T_{2}^{(2)}(k)\\ T_{1}^{(3)}(k)\\ T_{2}^{(3)}(k)\\ T_{1}^{(3)}(k)\\ T_{2}^{(3)}(k) \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c}T_{1}^{(1),S}\\ T_{2}^{(1),S}\\ T_{1}^{(2),S}\\ T_{2}^{(2),S}\\ T_{1}^{(3),S}\\ T_{2}^{(3),S} \end{array} \right], \quad \Delta q_2(k) = [\bar{q_2}(k)] - \left[\bar{q_2}^S\right] \quad (3)$$ 其中 $T_1^{(j)}(k)$ 和 $T_2^{(j)}(k)$ 是当前温度，$T_1^{(j),S}$ 和 $T_2^{(j),S}$ 是稳态温度，$q_2(k)$ 是当前流量，$q_2^S$ 是稳态流量。

原文中给出了不确定系统（式2）的矩阵 $A_\nu, B_\nu, C$ 的形式，但其描述（式4）是乱码且不完整的。不过，针对四个顶点系统的矩阵 $A_\nu, B_\nu$ 的具体数值是清晰给出的（式5）。

注： 原文此处给出的矩阵 $A_\nu, B_\nu, C$ 的结构（式4）以及表4中连续时间模型的元素定义是残缺不全或乱码的，无法准确复现。但紧接着给出了离散时间矩阵的数值形式。

$A_\nu, B_\nu$ 矩阵的数值形式如下： $$A_{v}=\left[\begin{array}{ccccc}-6.4&1.0&4.2&0&0&0\\ 0.3&-1.1&0.3&0&0&0\\ 0&1.0&-6.4&1.0&4.2&0\\ 0&0.5&0.3&-1.1&0.3&0\\ 0&0&1.0&-6.4&1.1&0.\\ 0&0&0&0.5&0.3&-1.1\end{array}\right]\times\mathbf{10}^{-2},\qquad(5)$$ $$B_{v}=\left[\begin{array}{c}-3.4\\ 0\\ -2.3\\ 0\\ -1.6\\ 0\end{array}\right]\times\mathbf{10}^{2}$$ 这四个顶点系统的矩阵 $A_\nu, B_\nu$ 具有相同的维度。它们是根据连续时间模型表示（尽管表4中的具体表达式是乱码）和采样时间 $t_s = 25 \text{s}$ 计算得出的。

4.5. 鲁棒模型预测控制 (RMPC) 设计

离散时间域中的鲁棒状态反馈控制问题可以表述为：找到一个状态反馈控制律（式6） $$\Delta q_{2}(k) = F_{k}\Delta T(k) \quad (6)$$ 对于由式(2)描述的系统，使得不确定闭环系统渐近稳定，并确保令人满意的控制性能。控制律确定了控制输入和输出之间的关系。Fk 是第 $k$ 个控制步的鲁棒状态反馈控制器的增益矩阵。

RMPC 的设计采用了文献 [11] 中描述的方法。控制性能的质量可以通过二次成本函数 $J'$ 来表达： $$J = \sum_{k = 0}^{N}\big(\Delta T(k)^{\mathrm{T}}W_{T}\Delta T(k) + \Delta q_{2}(k)^{\mathrm{T}}W_{q}\Delta q_{2}(k)\big) \quad (7)$$ 其中：

• $N$ 是控制步数。

• 设计时假设控制时域为无限 ($N \to \infty$)。

• $W_{T}$ 和 $W_{q}$ 是状态 $\Delta T(k)$ 和系统输入 $\Delta q_{2}(k)$ 的实数对称正定权重矩阵。

• 成本函数的第一项惩罚控制不准确性（输出当前值与期望值之间的差异）。

• 成本函数的第二项惩罚控制动作的利用。

  控制的目标是设计一个控制器 $F_k$，它在提供所有顶点系统鲁棒稳定性条件满足的同时，最小化目标函数 $J$ 的值。控制性能也受到约束条件的影响： $$\left\Vert \Delta T(k)\right\Vert_{2}^{2}\leq \left\Vert \Delta T_{\max }\right\Vert_{2}^{2},\left\Vert \Delta q_{2}(k)\right\Vert_{2}^{2}\leq \left\Vert \Delta q_{2,\max }\right\Vert_{2}^{2} \quad (8)$$ 其中：

• 输入约束 $\Delta q_{2,\max} = 5.93 \times 10^{-3} \mathrm{m}^3 \mathrm{s}^{-1}$，以防止计算出非物理的负体积流量。

• 输出约束选择为温度保持在稳态值的 $\pm 10^{\circ}C$ 范围内。

  鲁棒稳定性条件源于李雅普诺夫稳定性定理 (Lyapunov stability theorem)。然后，状态反馈控制律的增益矩阵 $F_k$ 被设计为半定规划 (SDP)优化问题的解，其中约束条件以线性矩阵不等式 (LMI)的形式给出。

5. 实验设置

5.1. 仿真环境

RMPC 算法的效率通过在 MATLAB/Simulink 环境中进行的仿真实验进行验证。

• 硬件环境： 2.8 GHz CPU 和 4 GB RAM。
• 软件工具：
  • 优化问题使用 YALMIP toolbox [19] 进行建模。
  • 通过 SeDuMi solver [16] 求解。
  • 作者开发了 MUP toolbox [20] 来设计 RMPC，这些工具箱都是免费提供的。

5.2. 控制场景

为了确认所设计 RMPC 方法的效率，研究了两种控制场景：Case 1 和 Case 2。这两个场景通过不同的初始条件来区分。

以下是原文 Table 1 的结果：

表1：HEN 中两种控制情况下的初始条件。

稳态值和工艺参数如表2所示（原文 Table 2 的部分内容）：

• 冷却石油出口温度的目标参考值为 $45.3 \text{ }^{\circ}C$。
• 稳态水流量 $q_1^S = 5.93 \times 10^{-3} \mathrm{m}^3 \mathrm{s}^{-1}$。
• 稳态石油流量 $q_2^S = 5.80 \times 10^{-3} \mathrm{m}^3 \mathrm{s}^{-1}$。

5.3. 对比基线

RMPC 的控制性能与离散时间线性二次 (LQ) 最优控制器的控制性能进行比较。LQ 最优控制器的增益矩阵 $F_{\mathrm{LQ}}$ 如下： $$F_{\mathrm{LQ}} = [110.4, 31.2, - 1.7, 21.1, - 1.0, 8.5]\times 10^{- 6}$$

5.4. 权重矩阵

用于 LQ 控制器设计的权重矩阵 $W_T, W_q$ 同样用于 RMPC 算法，以确保结果具有完全可比性： $$W_{T}={\left[\begin{array}{l l l l l l}{100}&{0}&{0}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{100}&{0}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{100}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{100}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{0}&{100}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{0}&{0}&{100}\end{array}\right]},W_{q}=[\overset{\sim}{100}] \quad (9)$$ 其中 $W_T$ 是系统状态的权重矩阵，$W_q$ 是系统输入的权重矩阵。

5.5. 评估指标

两种策略通过评估将石油冷却到 $45.3 \text{ }^{\circ}C$ 所需的冷却剂总消耗量 (total consumption of coolant) $V_C$ 进行比较。

• 稳态偏移 (Steady-state offset)： $\Delta_{\mathrm{off}}T_2^{(3)}$，表示出口石油温度与参考值之间的稳态误差。
• 冷却水总消耗量 (Total consumption of cooling water)： $V_C$ (单位 $\mathrm{m}^3$)。
• 相对稳态偏移 (Relative steady-state offset)： $\Delta_{\mathrm{rel}}T_2^{(3)}$ (%)，表示与 LQ 控制相比，RMPC 的稳态偏移百分比变化。
• 相对冷却水消耗量 (Relative consumption of cooling water)： $\Delta_{\mathrm{rel}}V_C$ (%)，表示与 LQ 控制相比，RMPC 的冷却水消耗百分比变化。

5.6. 仿真持续时间

控制仿真在 $1200 \text{s}$ 后停止，即 $N = 48$ 个控制步之后。

5.7. 仿真模型

仿真结果是使用更精确的非线性 HES 模型（式1）获得的。

6. 实验结果与分析

6.1. 核心结果分析

仿真实验评估了在两种不同初始条件（Case 1和Case 2）下，RMPC 和 LQ 控制器对HEN的控制性能。主要关注点是出口石油温度的稳态偏移和冷却介质的总消耗量。

以下是原文 Table 5 的结果：

表5：RMPC 和离散时间 LQ 最优控制获得的结果。

注： 表5中的列头 $ΔaFTQM(°C)$ 对应文中描述的 $Δoff T2,RMPC(3)$，表示 RMPC 导致的稳态偏移；$ΔreaFTQM(°C)$ 对应 $Δoff T2,LQ(3)$，表示 LQ 控制导致的稳态偏移。表中的第三列和第五列没有明确的列头，但根据数值和上下文，第三列应为 $Δrel VC ($ （RMPC 相较于 LQ 的冷却水消耗量相对变化），第五列应为 $Δrel T_off ($ （RMPC 相较于 LQ 的稳态偏移相对变化）。例如，0.00 可能表示 RMPC 和 LQ 在该项上没有相对变化，- 表示不适用或未计算。

6.1.1. 稳态偏移分析

• 标称系统 (Nominal System)：
  • 在控制标称系统时，LQ 最优控制器能够实现零稳态偏移（尽管表5中显示为-1.5°C，可能是一个小误差或近似值，但文中明确说明“$Δoff T2,LQ(3)$ 为零”）。
  • RMPC 在控制标称系统时，也实现了非常小的稳态偏移（-0.01°C）。
• 顶点系统 (Vertex Systems)：
  • 当控制顶点系统（代表实际中存在不确定性的情况）时，RMPC 显著优于 LQ 控制。RMPC 确保了更低的稳态偏移绝对值。
  • 具体来说，RMPC 将出口石油温度的稳态偏移与 LQ 最优控制相比，降低了大约 40% 到 50%。这表明 RMPC 在处理系统不确定性方面具有更强的鲁棒性。

6.1.2. 冷却介质消耗分析

• 标称系统：
  • 对于标称系统，RMPC 略微减少了冷却水消耗（Case 1: 7.200 $m^3$ vs 7.313 $m^3$；Case 2: 7.166 $m^3$ vs 7.316 $m^3$）。
• 顶点系统：

  • 对于第2和第4顶点系统，RMPC 显著降低了冷却水消耗（例如，Case 1中，2nd vertex RMPC: 6.702 $m^3$ vs LQ: 7.377 $m^3$）。这表示 RMPC 在某些不确定场景下表现出更高的能源效率。

  • 对于第1和第3顶点系统，RMPC 的冷却水消耗略高于 LQ 控制。然而，文中强调 RMPC 在“大多数研究系统”中减少了消耗。

    总体而言，RMPC 在存在不确定性时（尤其是在顶点系统的控制中）展现出卓越的性能，能够有效减少稳态偏移和冷却介质消耗。

6.2. 控制性能图示分析

文中提供了多张图表来展示 RMPC 和 LQ 控制在不同换热器出口的石油温度控制性能以及控制输入的生成情况。

6.2.1. Case 1 的控制性能

以下是原文 Figure 2 的结果：

图2：在 RMPC（顶点系统—实线，标称系统—虚线，参考—虚线圆圈）和 LQ 最优控制（顶点系统—点线，标称系统—虚点线）下，第一个换热器出口石油温度的控制性能 — Case 1。 分析： 图2展示了 Case 1 中第一个换热器出口石油温度的控制性能。RMPC (实线和虚线) 在面对不确定性（顶点系统）时，温度曲线更紧密地围绕参考值（虚线圆圈）波动，且稳态误差更小。相比之下，LQ 控制 (点线和虚点线) 的响应在顶点系统下表现出更大的偏差。

以下是原文 Figure 3 的结果：

图3：在 RMPC（顶点系统—实线，标称系统—虚线，参考—虚线圆圈）和 LQ 最优控制（顶点系统—点线，标称系统—虚点线）下，第二个换热器出口石油温度的控制性能 — Case 1。 分析： 图3展示了 Case 1 中第二个换热器出口石油温度的控制性能。与第一个换热器类似，RMPC 在不同系统（特别是顶点系统）下表现出更一致且更接近参考值的温度控制，而 LQ 控制的性能在不确定性影响下波动较大。

以下是原文 Figure 4 的结果：

图4：在 RMPC（顶点系统—实线，标称系统—虚线，参考—虚线圆圈）和 LQ 最优控制（顶点系统—点线，标称系统—虚点线）下，第三个换热器出口石油温度的控制性能 — Case 1。 分析： 图4展示了 Case 1 中最重要的控制目标，即第三个换热器出口石油温度。此图清晰地表明，RMPC (实线和虚线) 能够使出口温度更紧密地跟踪参考值，并具有更小的稳态偏移。LQ 控制 (点线和虚点线) 在顶点系统下出现了明显的稳态偏移，验证了 RMPC 在处理不确定性方面的优势。

以下是原文 Figure 5 的结果：

图5：在 RMPC（顶点系统—实线，标称系统—虚线）和 LQ 最优控制（顶点系统—点线，标称系统—虚点线）下生成的控制输入 — Case 1。 分析： 图5展示了 Case 1 中由两种控制器生成的控制输入（冷却水流量）。RMPC (实线和虚线) 生成的控制输入在初期可能更活跃，以应对初始条件并快速将系统带到期望状态，但其在稳态附近通常能更有效地维持系统，尤其是在处理不确定性时，其控制动作可能会更“鲁棒”，以应对最坏情况。LQ 控制 (点线和虚点线) 的控制输入在顶点系统下可能导致温度偏差，意味着其控制动作未能充分抵消不确定性影响。

6.2.2. Case 2 的控制性能

以下是原文 Figure 6 的结果：

图6：在 RMPC（顶点系统—实线，标称系统—虚线，参考—虚线圆圈）和 LQ 最优控制（顶点系统—点线，标称系统—虚点线）下，第一个换热器出口石油温度的控制性能 — Case 2。 分析： 图6展示了 Case 2 中第一个换热器出口石油温度的控制性能。与 Case 1 类似，RMPC 再次展示了其在不同初始条件和系统不确定性下的优越性，温度曲线收敛得更好，且稳态偏移更小。

以下是原文 Figure 7 的结果：

图7：在 RMPC（顶点系统—实线，标称系统—虚线，参考—虚线圆圈）和 LQ 最优控制（顶点系统—点线，标称系统—虚点线）下，第二个换热器出口石油温度的控制性能 — Case 2。 分析： 图7展示了 Case 2 中第二个换热器出口石油温度的控制性能。RMPC 维持了其在不确定性下的良好表现，相较于 LQ 控制，其在顶点系统下的温度控制更稳定，更接近参考值。

以下是原文 Figure 8 的结果：

图8：在 RMPC（顶点系统—实线，标称系统—虚线，参考—虚线圆圈）和 LQ 最优控制（顶点系统—点线，标称系统—虚点线）下，第三个换热器出口石油温度的控制性能 — Case 2。 分析： 图8展示了 Case 2 中第三个换热器出口石油温度的控制性能。这是核心控制指标，再次证实了 RMPC 在处理不确定性时能够提供更小的稳态偏移和更好的跟踪性能，这对于实现精确的温度控制至关重要。

以下是原文 Figure 9 的结果：

图9：在 RMPC（顶点系统—实线，标称系统—虚线）和 LQ 最优控制（顶点系统—点线，标称系统—虚点线）下生成的控制输入 — Case 2。 分析： 图9展示了 Case 2 中由两种控制器生成的控制输入。RMPC 生成的控制输入在面对不同的初始条件（Case 2）时，依然能够有效地驱动系统，并且在存在不确定性时，其控制策略能够更好地平衡性能和鲁棒性。

6.3. 总结

RMPC 在大多数情况下都优于 LQ 最优控制，尤其是在处理系统不确定性时（即针对顶点系统进行控制时）。RMPC 能够显著降低稳态偏移，并减少冷却介质的消耗。虽然 LQ 控制在理想的标称系统下表现良好，但在存在不确定性和约束的实际场景中，RMPC 展现出更强的鲁棒性和更优的整体控制性能。

7. 总结与思考

7.1. 结论总结

本文通过对换热器网络（HEN）的控制研究，探讨了 鲁棒模型预测控制 (RMPC) 在改善控制性能和提高能源效率方面的潜力。文章的主要贡献在于将 RMPC 应用于具有不确定参数的 HEN，并将其设计为线性矩阵不等式 (LMI)形式的优化问题。通过在 MATLAB/Simulink 环境中的仿真实验，将 RMPC 的性能与传统的最优线性二次 (LQ) 控制进行了比较。

主要发现包括：

1. 稳态偏移减小： 在存在不确定性和输入/输出约束的条件下，RMPC 能够将 HEN 出口石油温度的稳态偏移比 LQ 最优控制减少约 40% 到 50%。

2. 冷却水消耗降低： 在大多数研究的系统（包括标称系统和部分顶点系统）中，RMPC 能够降低冷却水的消耗，某些情况下在约 20 分钟内可减少高达 10%，尤其在较大扰动（如 Case 1）下效果更明显。

3. 鲁棒性优势： RMPC 在控制顶点系统（代表不确定性场景）时表现出更优越的性能，而 LQ 最优控制器仅在理想的标称系统下能提供更好的控制质量。

   因此，本文得出结论，RMPC 策略在实际应用中相较于 LQ 最优控制能够带来显著的节能效果和更精确的控制。

7.2. 局限性与未来工作

局限性：

• 计算负担增加： 作者指出，RMPC 的设计和实施导致了整体计算工作量（computational effort）的增加。这是 LMI 形式的 SDP 求解带来的固有挑战。
• 非零稳态偏移： 尽管 RMPC 显著减小了稳态偏移，但在某些情况下，尤其是在处理顶点系统时，仍然存在非零的稳态偏移。

未来工作：

• 未来的研究将致力于改进 RMPC 算法，以实现无偏移控制响应 (offset free control responses)，进一步提高控制精度。
• 将模拟结果作为基础，进一步研究 RMPC 在真实换热器上的实际实施。

7.3. 个人启发与批判

个人启发：

• 不确定性处理的重要性： 本文再次强调了在实际工业过程中处理系统不确定性的重要性。传统的控制方法（如 LQ 控制）在理想模型下表现优异，但在模型失配或参数变化时性能会迅速下降。RMPC 提供了一个在保证鲁棒性的前提下，优化性能的有效框架。
• LMI 框架的强大： LMI 作为一个强大的数学工具，能够将复杂的鲁棒控制问题转化为凸优化问题，这为控制系统设计提供了坚实的理论基础和可计算的解决方案。对于理解和设计更高级的控制系统，掌握 LMI 及其在优化中的应用是至关重要的。
• 节能潜力： 本文将先进控制策略与节能目标紧密结合，展示了理论研究在实际工业应用中的巨大价值。即使是百分之几的能源效率提升，在全球范围内也能带来巨大的经济和环境效益。
• 从理论到实践的桥梁： 从非线性模型到线性化、离散化，再到 LMI 形式的控制器设计，整个过程展示了如何将复杂的物理系统建模并转化为可解决的数学问题，最终通过仿真验证其有效性，为实际部署奠定了基础。

批判与可以改进的地方：

• 计算效率： 虽然本文承认了 RMPC 带来的计算负担，但并未深入探讨具体的优化方法或实时性评估。在实际工业应用中，控制器可能需要以较高的频率运行，因此计算时间是一个关键因素。未来的研究除了追求无偏移控制外，也应关注如何提高 RMPC 算法的计算效率，例如通过显式 MPC (Explicit MPC)或更高效的SDP求解器。
• 模型简化与假设： 论文提到了对换热器模型的简化假设（如忽略金属壁热容量、绝缘良好等）。虽然这些简化有助于模型推导，但可能与真实系统存在差异。评估这些简化对 RMPC 实际性能的影响，或尝试更复杂的模型（如包含分布参数或时滞的模型）并在其上设计 RMPC，将是更有挑战性但更有价值的方向。
• LMI 约束的来源和设计： 论文简要提及了 RMPC 的设计涉及 LMI，但并未详细解释这些 LMI 具体是如何从李雅普诺夫稳定性定理和性能指标（如成本函数、约束）中推导出来的。对于初学者而言，如果能提供这些 LMI 约束的推导过程或详细解释其物理意义，将极大地提高论文的可读性和教学价值。
• 鲁棒性的量化： 论文通过顶点系统来评估鲁棒性，这是一种常见且有效的方法。然而，如果能提供更全面的鲁棒性分析，例如在不同程度的参数扰动或未建模动态下的性能，或者使用更高级的鲁棒性度量（如性能最差情况下的裕度），将使结论更具说服力。
• 与其他先进控制方法的比较： 除了 LQ 控制，还可以考虑将 RMPC 与其他先进的、可能更适应非线性和不确定性的控制方法（如非线性 MPC、自适应控制、模糊控制等）进行比较，以更全面地评估其优势和劣势。
• 图形展示的清晰度： 在原文中，一些图例的线条颜色和样式在区分不同控制策略（特别是 RMPC 的顶点系统和标称系统与 LQ 的顶点系统和标称系统）时可能不够直观，有时会相互重叠，影响了清晰度。未来的工作可以优化图形展示，以更好地传达结果。