1. 论文基本信息

1.1. 标题

自恢复均衡与二维数据通信系统中的载波追踪 (Self-Recovering Equalization and Carrier Tracking in Two-Dimensional Data Communication Systems)

1.2. 作者

Dominique N. Godard。当时隶属于法国 IBM 研究中心 (IBM Centre d'Etudes et Recherches, La Gaude, France)。Godard 博士是数字信号处理和通信理论领域的先驱，本文提出的算法后来被称为“Godard 算法”，是盲均衡领域的基石。

1.3. 发表期刊/会议

发表于 IEEE Transactions on Communications。这是通信领域最具权威性和影响力的顶级学术期刊之一。

1.4. 发表年份

1980年11月（稿件修订于1980年6月）。

1.5. 摘要

传统的自适应均衡器和载波恢复算法通常需要一个初始的“训练期”，在此期间发送端需发送已知的参考序列，以便接收端进行同步和调整。本文解决了一个通用问题：如何在不使用已知训练序列且不限制信道失真条件的情况下，实现自适应信道均衡。 作者提出了一类新的非凸代价函数 (Nonconvex Cost Functions)，用于表征均衡器输出的符号间干扰 (Intersymbol Interference, ISI)。该准则的独特之处在于它独立于载波相位和所使用的符号星座图。这意味着均衡器的收敛过程不需要先进行载波恢复，从而允许在均衡器输出端以决策反馈模式进行相位跟踪。

1.6. 原文链接

IEEE Xplore 官方链接（或参考提供的 PDF 文件）。该论文目前处于正式发表状态，是盲均衡领域的经典文献。

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2. 整体概括

2.1. 研究背景与动机

在 20 世纪 70 年代末，多点网络 (Multipoint Networks) 逐渐兴起。在这种架构中，控制站（主站）与多个支流站（从站）通信。

• 核心问题： 传统的自适应均衡器依赖于训练序列 (Training Sequence)。每当一个新的从站加入或信道发生剧烈变化时，必须中断正常数据传输来发送已知序列，这极大地降低了数据吞吐量。
• 挑战： 在不知道发送数据的情况下，接收端收到的信号受到严重的信道畸变（振幅失真和群延迟）以及载波相位偏移（相位抖动和频率偏移）的影响。
• 现有空白： 当时的研究极少涉及二维调制（如 QAM）下的自恢复（盲）均衡。已有的方法通常局限于简单的二进制信号，无法直接扩展到复杂的幅度/相位联合调制系统。

2.2. 核心贡献/主要发现

1. 提出 Godard 准则： 定义了一类新的代价函数——阶数为 $p$ 的离散度 (Dispersion of order $p$)，它对相位不敏感，仅通过统计特性即可评估 ISI。

2. 实现盲均衡 (Blind Equalization)： 均衡器可以在没有训练序列的情况下，依靠信号本身的统计特性自动收敛。

3. 解耦均衡与载波恢复： 证明了均衡器的收敛可以先于载波恢复进行。这打破了“必须先同步才能均衡”的传统死循环。

4. 算法简洁性： 提出的算法在计算复杂度上与传统的最小均方 (LMS) 梯度算法相当，非常适合微处理器实现。

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3. 预备知识与相关工作

3.1. 基础概念

• 二维调制 (Two-Dimensional Modulation): 指的是正交幅度调制 (QAM) 或相移键控 (PSK)。信号被看作复平面上的点（符号），具有实部（同相分量）和虚部（正交分量）。
• 符号间干扰 (Intersymbol Interference, ISI): 由于信道带宽限制和色散，前后发送的符号在时间上会相互重叠，导致接收端难以分辨当前的符号。
• 均衡器 (Equalizer): 一个自适应滤波器，旨在补偿信道的频率响应，消除 ISI。
• 盲均衡 (Blind Equalization): 又称“自恢复均衡”，指接收机在不知道发送序列的具体内容（无训练数据）的情况下，仅凭接收信号的统计规律来调整滤波器参数。

3.2. 前人工作

• LMS 算法: 由 Widrow 和 Hoff 提出，是自适应滤波的基石。其公式为： $$c_{n+1} = c_n - \lambda e_n y_n^*$$ 其中 $e_n$ 是误差信号。但在盲场景下，由于不知道真实符号 $a_n$，无法直接计算误差 $e_n = z_n - a_n$。
• 佐藤算法 (Sato's Algorithm): 论文中提到的 [5]，是早期的盲均衡尝试，但它主要针对多电平幅度调制 (PAM)，且对载波相位非常敏感。

3.3. 技术演进与差异化

本文的方法相较于前人工作的核心创新在于其相位无关性 (Phase Independence)。 传统的决策反馈算法 (Decision-Directed) 依赖于判决结果 $\hat{a}_n$。如果信道失真严重导致错误率高于 0.1，判决反馈就会失效。Godard 发现，通过关注信号的“幅度分布”而非“具体位置”，可以避开相位的干扰，从而在极度恶劣的初始条件下开启均衡过程。

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4. 方法论

4.1. 信号模型

首先，作者定义了复数基带信号模型。均衡器的输出 $z_n$ 可以表示为： $z_n = y_n' c_n$ 其中：

• $y_n$ 是 $N$ 维抽头延迟线（均衡器）中的输入信号向量。
• $c_n$ 是均衡器的复数权重向量。
• $y_n'$ 表示向量的转置。

4.2. 核心：Godard 代价函数（离散度准则）

为了实现盲均衡，作者引入了离散度 (Dispersion) 的概念。定义 $p$ 阶代价函数 $D^{(p)}$ 为： $D^{(p)} = E(|z_n|^p - R_p)^2$ 这里的符号解释如下：

• $E[\cdot]$：表示统计期望。

• $|z_n|$：均衡器输出信号的模值（振幅）。

• $p$：一个正整数，决定了算法的阶数。

• $R_p$：一个正实常数，称为离散度常数。

  直觉分析： 这个函数衡量的是均衡器输出信号的振幅与其理想振幅分布之间的偏差。由于它只涉及 $|z_n|$，无论信号旋转了多少角度（相位偏移），代价函数的值都不会改变。这使得均衡器可以专注于消除 ISI，而不受相位波动的影响。

4.3. 算法推导与执行逻辑

为了最小化 $D^{(p)}$，作者使用随机梯度下降法。

4.3.1. 离散度常数 $R_p$ 的确定

为了保证当系统达到理想状态（零 ISI）时梯度为零，作者推导出 $R_p$ 必须满足： $$R_p = \frac{E|a_n|^{2p}}{E|a_n|^p}$$ 其中 $a_n$ 是发送端原始符号星座图中的符号。这意味着 $R_p$ 是根据所选用的星座图（如 16-QAM）预先计算好的。

4.3.2. 梯度更新公式

对 $D^{(p)}$ 求关于权重向量 $c$ 的导数，作者得到了更新公式（原文公式 22）： $$c_{n+1} = c_n - \lambda_p y_n^* z_n |z_n|^{p-2} (|z_n|^p - R_p)$$ 符号解释：

• $\lambda_p$：步长参数（学习率）。
• $y_n^*$：输入信号向量的共轭。
• $z_n$：当前均衡器输出。

4.3.3. 实用算法 (p=2)

作者指出，在实际应用中，$p=2$ 是最简洁有效的。此时算法变为（原文公式 28）： $$c_{n+1} = c_n - \lambda_2 y_n^* z_n (|z_n|^2 - R_2)$$ 这便是著名的 Constant Modulus Algorithm (CMA) 的原型。它通过强制让均衡器输出的能量接近 $R_2$ 来抵消信道失真。

4.4. 载波跟踪的集成

由于均衡算法与相位无关，载波跟踪可以独立进行。下图（原文 Figure 4）展示了该系统的整体架构：

执行流程：

1. 输入信号进入均衡器，按照 $D^{(p)}$ 准则调整权重 $c_n$。
2. 均衡器输出 $z_n$ 经过相位旋转器 $\exp(-j\hat{\phi}_n)$ 进行相位纠正。
3. 纠正后的信号进入决策电路（判决器）。
4. 载波相位 $\hat{\phi}_n$ 的更新采用传统的决策反馈模式（公式 8）： $$\hat{\phi}_{n+1} = \hat{\phi}_n - \lambda_{\phi} \mathrm{Im}[a_n^* z_n \exp(-j\hat{\phi}_n)]$$

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5. 实验设置

5.1. 信道与数据设置

作者通过计算机仿真验证了算法。

• 数据集/信道模型： 模拟了两种具有严重畸变的音频电话线路信道（Channel 1 和 Channel 2）。

• 信道特性： 包含幅度衰减和群延迟。如下图（原文 Figure 5）所示：

  该图像是图表，展示了两个频率通道的衰减和群延迟特性。图(a)和图(b)分别表示通道1和通道2的衰减和群延迟曲线，且均标注了3002 Basic线路的比较数据。这些数据有助于理解通道的性能表现及其对信号传输的影响。

• 星座图： 测试了四种常见的二维星座图（原文 Figure 6）：

  1. 8-PSK (7200 bits/s)

  2. 16-QAM Rectangular (9600 bits/s)

  3. V.29 Constellation (9600 bits/s)

  4. 32-QAM Rectangular (12000 bits/s)

     该图像是数据符号星座图示，展示了四种不同的符号星座配置：8-phase、16-point rectangular、16-point V29和32-point rectangular。每种配置均以坐标平面上的点表示，展示了不同的数据传输方案中的符号间隔和布局。这些星座图对理解数字通信中的符号分布和相位对比十分重要。

5.2. 评估指标

作者使用了 均方误差 (Mean-Squared Error, MSE) 来衡量均衡性能。

1. 概念定义: 衡量均衡器输出与理想符号之间差异的统计平均值。
2. 数学公式: $$\mathcal{E}^2 = E |z_n \exp(-j\hat{\phi}_n) - a_n|^2$$
3. 符号解释:

   • $z_n$: 均衡器输出。

   • $\exp(-j\hat{\phi}_n)$: 相位补偿项。

   • $a_n$: 发送的真实符号。

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6. 实验结果与分析

6.1. 核心结果分析

仿真结果表明，算法在没有任何先验知识的情况下成功收敛。

• 收敛速度： 在 2400 波特的传输速率下，大约需要 10 秒钟（约 20,000 到 30,000 次迭代）使 MSE 降至 -15 dB 以下。一旦 MSE 足够低（眼图打开），系统可以无缝切换回传统的判决反馈模式以加速收敛。
• $p=1$ 与 $p=2$ 的对比： 实验发现 $p=2$ 的算法收敛速度通常快于 $p=1$。

6.2. 实验数据呈现

下图（原文 Figure 7）展示了不同信道和不同 $p$ 值下的 MSE 下降曲线：

该图像是图表，展示了不同信道条件下均方误差（MSE）随时间变化的收敛速度。图中包含四个部分：左上角(a)和右上角(b)分别表示在$p=1$条件下的Line 1和Line 2的收敛表现，左下角(c)和右下角(d)则显示在$p=2$条件下的相应结果。每部分中标注了不同算法的MSE变化趋势。

从图中可以看出：

• 即使是失真极其严重的 Line 2 (图 b, d)，算法依然能够稳步下降。
• 算法对频率偏移（实验中设为 8 Hz）具有很强的鲁棒性。

6.3. 均衡器初始化

作者通过数学分析指出，由于代价函数是非凸的，存在局部极小值（例如权重全为零的解）。为了避开这些坑，必须正确初始化参考抽头 (Reference Tap)。通常将均衡器的中心抽头设置为一个较大的值（如 2.0），以保证初始输出能量足够大。

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7. 总结与思考

7.1. 结论总结

这篇论文开创了现代盲均衡技术的先河。Godard 证明了：

1. 可以通过一个简单的非线性函数 $|z_n|^2 - R_2$ 来提取信道畸变信息。
2. 均衡器的收敛完全可以独立于载波相位恢复。
3. 该算法鲁棒性极强，能够处理判决反馈算法无法处理的严重失真。

7.2. 局限性与未来工作

• 收敛速度较慢： 相比于已知训练序列的 LMS 算法，Godard 算法需要更长的时间来稳定。
• 非凸性挑战： 虽然文中给出了初始化建议，但在极少数极端复杂的信道下，仍可能陷入局部最优解。
• 未来方向： 这项工作后来直接演变为 恒模算法 (Constant Modulus Algorithm, CMA)，在数字电视、无线通信和光纤通信中得到了广泛应用。

7.3. 个人启发与批判

• 启发： Godard 的思维跳出了“点对点误差”的限制，转向“统计特性匹配”。这种从局部到全局的视角切换是解决盲信号处理问题的钥匙。
• 批判性思考： 论文中假设噪声可以忽略，这在低信噪比环境下可能存在风险。此外，虽然算法对相位不敏感，但它无法纠正相位旋转带来的判决模糊性（例如旋转 90 度），因此仍然需要差分编码或少量的导频信息来确定绝对相位参考。这对初学者来说是一个重要的技术细节。