1. 论文基本信息

1.1. 标题

通过忆阻器增强神经网络动力学的通用方法及其在基于物联网的机器人导航中的应用 (Universal Method for Enhancing Dynamics in Neural Networks via Memristor and Application in IoT-Based Robot Navigation)

1.2. 作者

Qiang Lai®, Senior Member, IEEE, and Minghong $\mathrm { Q i n } ^ { \mathbb { \oplus } }$ , Student Member, IEEE

1.3. 发表期刊/会议

该论文尚未正式发表，但其发布日期为 UTC 2025-01-01T00:00:00.000Z，表明它是一篇未来即将发表的论文，可能处于预印本或审稿阶段。根据作者的 IEEE 会员身份，很可能发布在 IEEE 旗下的期刊。

1.4. 发表年份

2025年

1.5. 摘要

在复杂和极端环境中执行特殊任务的移动机器人需要具备良好的导航和安全存储地图数据的能力。由忆阻神经网络 (Memristive Neural Networks, MNN) 的混沌特性驱动的移动机器人可以提供有趣的见解。然而，能够为不同应用场景提供多种可靠选择的可扩展 MNN 尚未得到彻底探索。因此，本文提出了一种新的通用方法，用于增强神经网络的动力学，以生成具有丰富动力学的多个神经网络，为基于物联网 (Internet of Things, IoT) 的机器人的导航和安全提供多种选择。该方法中增强的动力学得益于扩展忆阻电磁辐射 (memristive electromagnetic radiation, EMR) 的数量、神经元的数量及其集成。以新构建的中央循环神经网络 (central cyclic neural network, CCNN) 为例，成功推导出了许多不同的忆阻中央循环神经网络 (memristive central cyclic neural network, MCCNN)。数值研究了忆阻中央循环神经网络 (MCCNN) 的各种动力学，包括分岔 (bifurcation)、同质和异质多稳态 (homogeneous and heterogeneous multistability) 以及大规模幅度控制 (large-scale amplitude control)。构建了模拟电路和数字硬件平台来验证 MCCNN 的物理存在和可行性。最后，将 MCCNN 应用于驱动基于物联网的移动机器人。为了评估机器人的区域覆盖 (area coverage) 和避障 (obstacle avoidance) 性能，进行了几项实验，验证了机器人的优越性。

1.6. 原文链接

/files/papers/69465ce507f8689679b7cff8/paper.pdf (该链接为内部文件路径，表示该论文已在系统内部。)

2. 整体概括

2.1. 研究背景与动机

移动机器人在复杂和极端环境中的自主导航、运动控制和数据安全是当前研究的重点。物联网 (IoT) 技术的融合使得移动机器人在巡逻、排爆、数据收集和探索等任务中发挥着革命性作用。

神经网络作为构建高级类脑系统的重要基础，在预测、决策和控制中扮演着核心角色。忆阻器 (memristor) 具有独特的非线性和记忆特性，能够极大地丰富神经网络的动力学，因此忆阻神经网络 (MNN) 成为一个热门研究领域。现有的 MNN 研究主要集中在固定结构 MNN 的动力学分析上，例如混沌、多稳态等，并已应用于隐私保护、图像加密等领域。然而，这些固定结构的 MNN 在面对海量数据和严格应用要求时，在映射大脑结构、功能和实际应用方面存在局限性，限制了其进一步发展。

此外，MNN 固有的良好混沌特性和丰富动力学为开发具有更高覆盖性能和避障能力的移动机器人提供了诱人优势。混沌系统的遍历性 (ergodicity)、伪随机性 (pseudo-randomness) 和初始敏感性 (initial sensitivity) 使得基于混沌的移动机器人能够高效、安全地探索完全未知和复杂的环境。

核心问题与研究空白：

1. 缺乏可扩展性： 先前工作主要关注固定 MNN 的动力学研究，而具有丰富动力学的可扩展 MNN 尚未得到系统研究或报道。固定 MNN 在面对大规模数据和严苛应用需求时，其模型可能性和动力学选择有限。
2. 机器人导航应用不足： 尽管 MNN 具有良好的混沌特性，但将其应用于移动机器人导航以提供多样的可靠操作选项的探索仍然不足。

2.2. 核心贡献/主要发现

本文旨在解决上述问题，提出了一种增强神经网络动力学的通用方法，并将其应用于基于物联网的机器人导航。主要贡献如下：

1. 提出通用方法： 提出了一种基于忆阻器电磁辐射 (memristive electromagnetic radiation, EMR) 增强神经网络动力学的通用方法。通过扩展忆阻器数量、神经元数量及其集成，能够生成具有丰富动力学特性的神经网络。
2. 构建并验证 MCCNN： 以新设计的中央循环神经网络 (CCNN) 为例，成功构建了多种忆阻中央循环神经网络 (MCCNN)，并对其动力学进行了数值和实验分析。
   • 参数相关动力学： 揭示了参数相关动力学演化过程，包括分岔图 (bifurcation diagram) 和李雅普诺夫指数 (Lyapunov exponents, LEs)，展示了从稳定状态到周期态再到混沌态的转变。
   • 多样多稳态： 发现了初始条件 (initial condition, IC) 相关同质和异质多稳态 (homogenous and heterogeneous multistability)，提供了多种可靠的操作模式。
   • 大规模幅度控制： 观察到大规模参数相关幅度控制特性，表明 MCCNN 可以在不使用额外调制方法的情况下，通过调整参数生成不同幅度的混沌信号。
   • 物理实现： 通过模拟电路 (analog circuit) 和数字硬件平台 (digital hardware platform, 基于 STM32 的微控制器) 验证了 MCCNN 的物理存在和应用部署可行性。
3. 应用于物联网机器人导航： 将 MCCNN 产生的混沌信号应用于驱动基于物联网的移动机器人。通过区域覆盖 (area coverage) 和避障 (obstacle avoidance) 性能实验，验证了所提出的机器人具有良好的导航能力、高效的区域探索能力和出色的避障性能，并优于现有基线方法。

3. 预备知识与相关工作

3.1. 基础概念

3.1.1. 神经网络 (Neural Networks, NN)

神经网络是由大量神经元 (neurons) 通过突触 (synapses) 相互连接而成的计算模型，旨在模仿生物大脑处理信息的方式。它们在预测、决策和控制等领域发挥着重要作用。本文以 Hopfield 神经网络 (Hopfield Neural Network, HNN) 为基础进行扩展。

3.1.2. Hopfield 神经网络 (Hopfield Neural Network, HNN)

HNN 是一种递归神经网络，由 Hopfield 在 1982 年提出，用于模拟生物神经网络的行为。它通常用于联想记忆和优化问题。HNN 的主要特点是其反馈连接，网络状态会根据激活函数和权重矩阵进行迭代更新，直到达到一个稳定状态（吸引子）。本文的 HNN 模型使用了双曲正切 (hyperbolic tangent) 作为激活函数。

3.1.3. 忆阻器 (Memristor)

忆阻器是一种非线性两端无源电路元件，其电阻值取决于流过它的电荷量或穿过它的磁通量。它具有独特的非线性 (nonlinearity) 和记忆 (memory) 特性，即其当前电阻值依赖于其过去的输入历史。忆阻器的引入可以显著增强神经网络的动力学复杂性，使其产生丰富的非线性行为，如混沌和多稳态。 忆导 (Memductance): 忆阻器的电导，通常表示为 $G(\varphi)$，它是一个关于磁通量 $\varphi$ 的函数。

3.1.4. 忆阻神经网络 (Memristive Neural Networks, MNN)

将忆阻器作为突触连接或神经元组件引入神经网络中，形成忆阻神经网络。忆阻器的非线性和记忆特性能够为神经网络引入更复杂的动力学行为，如混沌、分岔和多稳态，这些特性对于构建具有高级智能行为的类脑系统至关重要。

3.1.5. 混沌 (Chaos)

混沌系统是确定性非线性动力学系统，其行为对初始条件极其敏感（蝴蝶效应），表现出伪随机、不可预测的复杂行为。混沌系统具有遍历性 (ergodicity) 和宽频带频谱，这使得它们在需要随机性、遍历性和复杂性的应用中非常有用，例如安全通信、随机数生成和机器人探索。

3.1.6. 多稳态 (Multistability)

多稳态是指一个动力学系统在相同的参数设置下，根据不同的初始条件，可以演化到多个不同的稳定状态或吸引子 (attractors)。这些吸引子可以是点吸引子 (point attractors)、周期吸引子 (periodic attractors) 或混沌吸引子 (chaotic attractors)。多稳态使得系统具有丰富的行为模式，为应用提供了更多选择和更强的鲁棒性。

• 同质多稳态 (Homogeneous Multistability): 不同的初始条件导致相同类型的吸引子（例如，多个不同的混沌吸引子）。
• 异质多稳态 (Heterogeneous Multistability): 不同的初始条件导致不同类型的吸引子（例如，一个混沌吸引子和一个周期吸引子）。

3.1.7. 物联网 (Internet of Things, IoT)

物联网是一个由物理设备、车辆、家用电器和其他物品组成的网络，这些物品嵌入了传感器、软件和其他技术，使其能够通过互联网连接和交换数据。在本文中，IoT 为移动机器人提供了数据共享和高效协作的框架，支持其在复杂环境中的导航和数据安全。

3.1.8. 双轮差分驱动机器人 (Two-wheeled Differential Drive Robot, TDDR)

TDDR 是一种常见的移动机器人，由两个独立的驱动轮和一个辅助支撑轮组成。通过控制两个驱动轮的速度差，可以实现机器人的前进、后退和转向。这种机器人结构简单，控制方便，广泛应用于各种移动机器人平台。

3.2. 前人工作

本文回顾了以下相关工作：

• 传统神经网络应用： 神经网络在预测、决策和控制中发挥关键作用 [7], [8], [9]。
• 忆阻神经网络 (MNN) 的研究： 现有研究表明忆阻器能有效增强神经网络的非线性，引入丰富的动力学。
  • [12] 设计了三个具有多卷混沌吸引子 (multiscroll chaotic attractors) 的忆阻 Hopfield 神经网络 (MHNN)，并应用于隐私保护。
  • [13] 数值分析了 MHNN 中的爆发式放电 (bursting firing)、多稳态和瞬态混沌 (transient chaos)。
  • [14] 提出了一种带有局部活性忆阻器 (locally active memristor) 的新型 MHNN，并通过电路实现。
  • [15], [16] 研究了忆阻 FHN-HR 神经网络和 HNN-HR 神经网络的复杂分岔和放电模式。
  • [17] 提出了一种具有切换权重机制的 MHNN，可生成可控的多卷吸引子。
  • [18] 研究了一种用于旅行商问题 (traveling salesman problem) 的分数阶 MHNN。
  • [19], [20], [21] 的研究表明 MNN 在生成混沌和多稳态方面优于振荡电路和混沌映射。
• 基于神经网络的机器人导航：
  • [22] 提出了一种尖峰特征驱动的传感运动控制忆阻神经电路，并应用于机器人避障。
  • [23], [24], [25] 报道了移动机器人的预测和控制。
• 基于混沌的机器人导航： 很少有研究将混沌特性应用于驱动移动机器人 [28], [29]。混沌的遍历性、伪随机性和初始敏感性使其能够高效安全地探索未知环境 [30], [31], [32]。

3.3. 技术演进

该领域的技术演进主要体现在以下几个方面：

1. 神经网络从理论到实际应用： 从 Hopfield 神经网络等早期模型，到结合忆阻器增强动力学，神经网络在复杂系统建模和控制中的作用日益突出。
2. 忆阻器引入增强系统动力学： 忆阻器的发现和应用为构建具有更丰富非线性行为的神经网络提供了新的途径，从而能够模拟更复杂的生物神经系统功能。
3. 混沌理论在工程中的应用： 混沌系统不再仅仅是理论研究对象，其独特的性质使其在加密、随机数生成和机器人自主导航等领域展现出巨大潜力。
4. 物联网与机器人融合： 物联网技术的发展使得机器人能够更好地进行数据共享、协同工作，并在复杂的智能环境中执行任务，这要求机器人具备更强大的自主决策和环境适应能力。

3.4. 差异化分析

本文与相关工作的核心区别和创新点在于：

• 可扩展 MNN 的系统研究： 现有工作主要关注固定 MNN 的动力学，而本文首次系统地提出了一个通用方法来构建可扩展的 MNN（通过扩展忆阻器数量和神经元数量），从而生成具有丰富动力学的多个神经网络模型。这种可扩展性为多样化的应用场景提供了更多选择。
• 整合多维动力学增强策略： 该方法不仅引入了忆阻器，还通过增加忆阻器在网络中的分布（路径 I）和增加神经元数量（路径 II）来进一步增强系统的动力学复杂性。
• 全面的动力学分析： 对所构建的 MCCNN 进行了全面的动力学分析，包括参数依赖的分岔、李雅普诺夫指数、同质/异质多稳态以及大规模幅度控制，这些都是之前固定 MNN 研究中未充分探索的。
• 物理实现与实际应用结合： 不仅进行了理论分析和数值仿真，还通过模拟电路和数字硬件平台验证了 MCCNN 的物理存在和可行性，并将其成功应用于物联网机器人导航，证明了其在实际工程中的潜力。
• 机器人导航性能提升： 将 MCCNN 产生的混沌信号用于驱动移动机器人，在区域覆盖和避障方面表现出优越性能，为基于物联网的机器人提供了新的、更可靠的导航解决方案。

4. 方法论

本节将详细阐述本文提出的通用方法，包括忆阻器的建模、MCCNN 的构建过程、平衡点分析以及其硬件实现和在物联网机器人导航中的应用。

4.1. 方法原理

本文的核心思想是利用忆阻器的非线性与记忆特性，通过系统地扩展神经网络中的忆阻器数量和神经元数量，来增强神经网络的动力学复杂度，从而生成具有丰富动力学行为的神经网络。这种增强的动力学特性，如混沌和多稳态，可以为机器人导航提供更高效、更鲁棒的解决方案。

4.2. 核心方法详解

4.2.1. Hopfield 神经网络 (HNN) 基础模型

本文以经典的 Hopfield 神经网络 (HNN) 作为基础模型。HNN 可以用以下方程描述： $$C _ { i } \frac { d x _ { i } } { d t } = - \frac { x _ { i } } { R _ { i } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \omega _ { i j } \operatorname { t a n h } ( x _ { j } ) + I _ { i }$$ 其中：

• C _ { i } 表示第 $i$ 个神经元的膜电容 (membrane capacitance)。
• R _ { i } 表示第 $i$ 个神经元的膜电阻 (membrane resistance)。
• x _ { i } 表示第 $i$ 个神经元的膜电压 (membrane voltage)。
• $n$ 表示神经元的总数。
• $\omega _ { i j }$ 表示第 $j$ 个神经元到第 $i$ 个神经元之间的突触权重 (synaptic weight)。
• $\operatorname { t a n h } ( \cdot )$ 是双曲正切激活函数 (activation function)。
• I _ { i } 是等效外部电流 (equivalent external current)，在本文中设置为 0。

4.2.2. 中央循环神经网络 (Central Cyclic Neural Network, CCNN)

受大脑神经系统中普遍存在的循环神经回路启发，作者通过选择性地设置 HNN 模型 (1) 中的突触权重，构建了一类中央循环神经网络 (CCNN)。CCNN 的突触权重矩阵 $W$ 可以表示为： $$W = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { \eta _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { } & { } & { } & { } & { \vdots } \\ { \eta _ { 2 } } & { 0 } & { \eta _ { 3 } } & { } & { } \\ { } & { } & { \ddots } & { \ddots } & { } \\ { } & { } & { } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { } & { \eta _ { n - 1 } } \\ { } & { } & { } & { } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] }$$ 其中，$\Pi _ { k = 1 } ^ { n } \eta _ { k } \neq 0$ 且 $n \geq 2$。这种突触连接使得神经元形成一种有趣的中央循环网络结构（如 Figure 1 所示）。然而，这类网络固有的动力学稀疏性和模型可能性限制了其在工程应用中的能力。

4.2.3. 忆阻器 (Memristor) 模型

为了解决 CCNN 动力学稀疏的问题，本文引入了忆阻器作为 CCNN 的电磁辐射 (EMR)，从而构建了忆阻中央循环神经网络 (MCCNN)。所使用的忆阻器的本征关系可以表示为： $$\left\{ \begin{array} { l } { i = G ( \varphi ) \nu } \\ { \dot { \varphi } = g ( \nu , \varphi ) . } \end{array} \right.$$ 其中：

• $i$ 是流过忆阻器的电流。

• $\nu$ 是忆阻器两端的电压。

• $G ( \varphi )$ 是忆导 (memductance)，它是磁通量 $\varphi$ 的函数。

• $\dot { \varphi }$ 是磁通量 $\varphi$ 的时间导数。

• $g ( \nu , \varphi )$ 是一个描述磁通量演化的函数。

  考虑到 HNN 的激活函数特性 (tanh(·)) 和电路模型的可行性，作者选择了一个磁通量控制型 (flux-controlled) 忆阻器，其忆导 $G ( \varphi )$ 和磁通量演化函数 $g ( \nu , \varphi )$ 具体形式如下：

• 忆导 $G ( \varphi )$ 选为： $$G ( \varphi ) = p ( - a + b \operatorname { t a n h } ( \varphi ) \varphi )$$

• 磁通量演化函数 $g ( \nu , \varphi )$ 选为： $$g ( \nu , \varphi ) = \nu - c \operatorname { t a n h } ( \varphi )$$ 其中，a, b, c, p 均为正常数，$p$ 代表 EMR 的耦合强度 (coupling strength)。Figure 1(a) 展示了该忆阻器在不同频率和振幅输入电压下的夹紧滞回回路 (pinched hysteresis loops)，这是忆阻器的典型特征。

4.2.4. MCCNN 的构建通用方法

本文提出了一种通用方法来增强神经网络的动力学，其核心在于通过两种途径扩展 memristive electromagnetic radiation (EMR) 和神经元的数量及其集成，从而生成具有丰富动力学的 MCCNN。该方法如下图 Figure 1(b) 所示：

Figure 1. MCCNN: (a) pinched hysteresis loop of memristor. (b) construction process of MCCNN.

构建途径 (Pathways):

1. 途径 I (Path I): 扩展 EMR 数量
   • 在现有神经元数量不变的情况下，逐步增加受到忆阻器电磁辐射（即连接忆阻器）的神经元数量，直到所有神经元都被忆阻器连接。
2. 途径 II (Path II): 增加神经元数量
   • 在现有忆阻器连接模式的基础上，增加神经网络中的神经元数量，从而形成更高维度的网络。

构建过程示例:

1. 从一个两神经元 CCNN 开始：
   • 构建 MCCNN (A): 将 EMR 应用于神经元 1，得到关键的 MCCNN (A)。
2. 基于途径 I 扩展 EMR 数量：
   • 从 MCCNN (A) 到 MCCNN (B): 在 MCCNN (A) 的基础上，扩展 EMR 的数量，使其也作用于神经元 2，得到 MCCNN (B)。
3. 基于途径 II 增加神经元数量：
   • 从 MCCNN (A) 到 MCCNN (C) 和 MCCNN (F): 在 MCCNN (A) 的基础上，增加神经元数量，分别得到 MCCNN (C)（三神经元）和 MCCNN (F)（四神经元）。
   • 新产生的 MCCNN 进一步应用途径 I： 值得注意的是，通过途径 II 获得的 MCCNN 还可以进一步通过途径 I 产生更多的 MCCNN。例如，从 MCCNN (C) 可以进一步得到 MCCNN (D) 和 MCCNN (E)，这意味着在三神经元网络中，可以增加忆阻器连接的神经元数量。

忆阻器选择的多样性: 除了本文使用的 tanh(·) 配置的忆阻器外，忆导 $G ( \varphi )$ 还可以由其他函数构成，例如：

• 二次函数：$G _ { 1 } ( \varphi ) = p ( - a + b \varphi ^ { 2 } )$
• 绝对值函数：$G _ { 2 } ( \varphi ) = p ( - a + b | \varphi | )$ 这些选择进一步增加了 MMMs（可能是指 Memristive Multiple Models 或 Memristive Multimode Systems）的多样性和可选择性。

MCCNN 具体模型示例: 论文在 Table I 中列出了六种不同配置的 MCCNN 模型（MCCNN (A)~(F)）的方程、参数和初始条件 (IC)。这些模型是通过上述通用方法推导出来的具体实例，它们展示了从二维到高维、从少量忆阻器到更多忆阻器的演化。 Table I. MODELS, PARAMETERS, AND ICS OF MCCNN (A)~(F)

4.2.5. 平衡点 (Equilibria) 分析

以 MCCNN (B) 为例，说明如何进行平衡点分析。MCCNN (B) 的系统方程如下： $$\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { x } _ { 1 } = - x _ { 1 } + 2 0 \operatorname { t a n h } ( x _ { 2 } ) - p _ { 1 } ( - a _ { 1 } + b _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \varphi _ { 1 } ) \varphi _ { 1 } ) x _ { 1 } } \\ { \dot { x } _ { 2 } = - x _ { 2 } - 2 0 \operatorname { t a n h } ( x _ { 1 } ) - p _ { 2 } ( - a _ { 2 } + b _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \varphi _ { 2 } ) \varphi _ { 2 } ) x _ { 2 } } \\ { \dot { \varphi } _ { 1 } = x _ { 1 } - c _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \varphi _ { 1 } ) } \\ { \dot { \varphi } _ { 2 } = x _ { 2 } - c _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \varphi _ { 2 } ) } \end{array} \right.$$ 假设 $E = ( \tilde { x } _ { 1 } , \tilde { x } _ { 2 } , \tilde { \varphi } _ { 1 } , \tilde { \varphi } _ { 2 } )$ 是 MCCNN (B) 的任意一个平衡点，则在平衡点处，所有状态变量的导数都为零 ($\dot{x}_i = 0, \dot{\varphi}_i = 0$)。因此，系统 (4) 变为： $$\left\{ \begin{array} { l l } { 0 = - \tilde { x } _ { 1 } + 2 0 \operatorname { t a n h } ( \tilde { x } _ { 2 } ) - p _ { 1 } ( - a _ { 1 } + b _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 1 } ) \tilde { \varphi } _ { 1 } ) \tilde { x } _ { 1 } } \\ { 0 = - \tilde { x } _ { 2 } - 2 0 \operatorname { t a n h } ( \tilde { x } _ { 1 } ) - p _ { 2 } ( - a _ { 2 } + b _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 2 } ) \tilde { \varphi } _ { 2 } ) \tilde { x } _ { 2 } } \\ { 0 = \tilde { x } _ { 1 } - c _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 1 } ) } \\ { 0 = \tilde { x } _ { 2 } - c _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 2 } ) . } \end{array} \right.$$ 从第三和第四个方程，可以得到 $\tilde { x } _ { 1 } = c _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 1 } )$ 和 $\tilde { x } _ { 2 } = c _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 2 } )$。将这两个表达式代入前两个方程，可以定义两个函数 l _ { 1 } 和 l _ { 2 }： $$\left\{ \begin{array} { l l } { l _ { 1 } ( \tilde { \varphi } _ { 1 } , \tilde { \varphi } _ { 2 } ) = - c _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 1 } ) + 2 0 \operatorname { t a n h } ( c _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 2 } ) ) } \\ { \quad - p _ { 1 } c _ { 1 } ( - a _ { 1 } + b _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 1 } ) \tilde { \varphi } _ { 1 } ) \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 1 } ) } \\ { l _ { 2 } ( \tilde { \varphi } _ { 1 } , \tilde { \varphi } _ { 2 } ) = - c _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 2 } ) - 2 0 \operatorname { t a n h } ( c _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 1 } ) ) } \\ { \quad - p _ { 2 } c _ { 2 } ( - a _ { 2 } + b _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 2 } ) \tilde { \varphi } _ { 2 } ) \operatorname { t a n h } ( \tilde { \varphi } _ { 2 } ) . } \end{array} \right.$$ 平衡点 $E$ 可以通过 $l _ { 1 } = 0$ 和 $l _ { 2 } = 0$ 的交点来确定。通过图形分析方法（如 Figure 3 所示），在参数 p _ { 1 } = p _ { 2 } = 1, a _ { 1 } = a _ { 2 } = 4, b _ { 1 } = b _ { 2 } = 1 0, c _ { 1 } = c _ { 2 } = 1 下，MCCNN (B) 只有一个平衡点 $( 0 , 0 , 0 , 0 )$。计算其雅可比矩阵 (Jacobian matrix) 的特征值 (eigenvalue) 发现为 $( - 1 . 0 0 , - 1 . 0 0 , 3 . 0 0 \pm 2 0 . 0 0 i )$，这表明平衡点 $E$ 是不稳定的鞍焦平衡点 (unstable index-2 saddle-focus equilibrium)。

该图像是图表，展示了函数 $l_1$ 和 $l_2$ 的图形分析结果。图中，横轴表示变量 $\tilde{\varphi}_1$，纵轴表示变量 $\tilde{\varphi}_2$。两条曲线分别用青色和橙色表示，显示了在不同条件下 $l_1$ 和 $l_2$ 的变化趋势，交点和渐近线指示出相应的动态特征。 Figure 3. Graphic analytic outcomes of functions l _ { 1 } and l _ { 2 }

4.2.6. 硬件实现方法

为了验证 MCCNN 的物理存在和可行性，本文采用了模拟电路和数字硬件平台两种方式进行实现。以 MCCNN (B) 和 (F) 为例。

4.2.6.1. 模拟电路实现

基于 MCCNN (B) 的模型，可以设计相应的模拟电路。电路模型包含 tanh(·) 单元、忆阻器单元和主电路模块。

• tanh(·) 单元通过运算放大器 (operational amplifiers, TL082CP)、NPN 晶体管 (MPS2222) 和电阻实现。

• 忆阻器电路的输入-输出关系可以表示为： $$\left\{ \begin{array} { c } { I = \left[ - \frac { R } { R _ { a } } + \frac { g R } { R _ { b } } \operatorname { t a n h } ( \nu _ { \varphi } ) \nu _ { \varphi } \right] V } \\ { \frac { d \nu _ { \varphi } } { d t } = \frac { 1 } { R C } \Big [ V - \frac { R } { R _ { c } } \operatorname { t a n h } \big ( \nu _ { \varphi } \big ) \Big ] } \end{array} \right.$$ 其中，$V$ 和 $\nu _ { \varphi }$ 分别是忆阻器电路的输入和输出电压，$g$ 是乘法器的输出增益（0.1）。忆阻器 M _ { 1 } 和 M _ { 2 } 的电路参数根据模型参数计算。

• 将 MCCNN (B) 的状态变量 $\nu _ { 1 } , \nu _ { 2 } , \nu _ { 3 } , \nu _ { 4 }$ 与主电路模块中的两个电容 $C$ 和两个忆阻器 $M$ 对应，整个电路模型可以描述为： $$\left\{ \begin{array} { l l } { R C \frac { d v _ { 1 } } { d t } = - \nu _ { 1 } + \frac { R } { R _ { 1 } } \operatorname { t a n h } ( \nu _ { 2 } ) - \left[ - \frac { R } { R _ { a 1 } } + \frac { g R } { R _ { b 1 } } \operatorname { t a n h } ( \nu _ { 3 } ) \nu _ { 3 } \right] \nu _ { 1 } } \\ { R C \frac { d v _ { 2 } } { d t } = - \nu _ { 2 } - \frac { R } { R _ { 2 } } \operatorname { t a n h } ( \nu _ { 1 } ) - \left[ - \frac { R } { R _ { a 2 } } + \frac { g R } { R _ { b 2 } } \operatorname { t a n h } ( \nu _ { 4 } ) \nu _ { 4 } \right] \nu _ { 2 } } \\ { R C \frac { d v _ { 3 } } { d t } = \nu _ { 1 } - \frac { R } { R _ { c 1 } } \operatorname { t a n h } ( \nu _ { 3 } ) } \\ { R C \frac { d v _ { 4 } } { d t } = \nu _ { 2 } - \frac { R } { R _ { c 2 } } \operatorname { t a n h } ( \nu _ { 4 } ) } \end{array} \right.$$ 其中 $R = 10k\Omega, C = 100nF, R_1 = R_2 = R/20 = 0.5k\Omega$ 等。Figure 9 展示了 MCCNN (B) 的电路原理图。

  Figure 9. Circuit scheme of MCCNN (B).

4.2.6.2. 数字硬件平台实现

为了解决模拟电路稳定性差、便携性不足的问题，本文采用了基于 STM32 微控制器 (MCU) 的数字硬件平台进行实现。

• 工作流程:
  1. 使用欧拉算法 (Euler algorithm) 以步长 $\Delta l = 0 . 0 1$ 对 MCCNN 进行离散化。
  2. MCU 迭代计算编码后的 MCCNN，生成数字信号。
  3. 通过 DA 转换器 (TLV5618) 将数字信号转换为模拟信号。
  4. 使用示波器 (TBS 2000B) 观察实验结果。
• 该平台以低功耗和灵活性为特点，验证了所提方法的实际可行性。

4.2.7. 物联网机器人导航应用

本文将 MCCNN 产生的混沌信号应用于驱动基于物联网的移动机器人，旨在解决机器人在复杂环境中的导航和地图数据安全问题。Figure 12 展示了物联网机器人导航的三层架构。

Figure 12. Applications for IoT-based robot navigation.

• 感知层 (Layer I): 移动机器人进行数据收集，与信号塔互动。
• 网络层 (Layer II): 包含数据库和云服务器，负责数据传输、存储和处理。
• 应用层 (Layer III): 涉及工业、安全等实际应用场景，通过数据更新和安全认证实现功能。

4.2.7.1. 机器人模型

选择双轮差分驱动机器人 (TDDR) 作为应用平台。TDDR 的运动学模型描述如下： $$[ \begin{array} { c } { \dot { X } } \\ { \dot { Y } } \\ { \dot { \theta } } \end{array} ] = [ \begin{array} { c } { \nu _ { X } } \\ { \nu _ { Y } } \\ { \omega } \end{array} ] = [ \begin{array} { c } { ( \nu _ { R } + \nu _ { L } ) \cos \theta / 2 } \\ { ( \nu _ { R } + \nu _ { L } ) \sin \theta / 2 } \\ { ( \nu _ { R } - \nu _ { L } ) / L } \end{array} ]$$ 其中：

• ( X , ~ Y ) 表示 TDDR 的位置。

• $\theta$ 表示 TDDR 沿 X 轴方向的运动方向。

• $\omega$ 表示 TDDR 的角速度。

• $\nu _ { R }$ 和 $\nu _ { L }$ 分别表示 TDDR 右轮和左轮的线速度。

• $L$ 是 TDDR 轴的长度，设置为 $2 0 \mathrm { c m }$。

  将 MCCNN (B) 应用于驱动 TDDR，即用 MCCNN (B) 的状态变量 $x_1$ 和 $x_2$ 作为 TDDR 左右轮的线速度 $\nu_L$ 和 $\nu_R$ (或反之，根据具体耦合方式)，得到以下动态方程： $$\begin{array}{c} \begin{array} { r l } & { \{ \begin{array} { l l } { \dot { x } _ { 1 } = - x _ { 1 } + 2 0 \operatorname { t a n h } ( x _ { 2 } ) - p _ { 1 } ( - a _ { 1 } + b _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \varphi _ { 1 } ) \varphi _ { 1 } ) x _ { 1 } } \\ { \dot { x } _ { 2 } = - x _ { 2 } - 2 0 \operatorname { t a n h } ( x _ { 1 } ) - p _ { 2 } ( - a _ { 2 } + b _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \varphi _ { 2 } ) \varphi _ { 2 } ) x _ { 2 } } \end{array} } \\ & { \{ \begin{array} { l l } { \dot { \varphi } _ { 1 } = x _ { 1 } - c _ { 1 } \operatorname { t a n h } ( \varphi _ { 1 } ) } \\ { \dot { \varphi } _ { 2 } = x _ { 2 } - c _ { 2 } \operatorname { t a n h } ( \varphi _ { 2 } ) } \\ { \dot { X } = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) \cos \theta / 2 } \end{array} } \\ & { \{ \dot { Y } = ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) \sin \theta / 2 } \\ & { \dot { \theta } = ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) / L } \end{array} \end{array}$$ 这里，假设 $\nu_R = x_1$ 且 $\nu_L = x_2$ (或类似映射)。MCCNN (B) 的参数为 p _ { 1 } = p _ { 2 } = 1, a _ { 1 } = a _ { 2 } = 4, b _ { 1 } = b _ { 2 } = 1 0, c _ { 1 } = c _ { 2 } = 1。使用四阶龙格-库塔算法 (4-order Runge-Kutta algorithm) 以积分步长 $\Delta h = 0 . 0 6$ 计算 MCCNN (B)。

4.2.7.2. 避障控制策略

当机器人传感器检测到边界或障碍物时，将根据 Algorithm 1 的策略进行运动规划。 Algorithm 1 Control Strategies for Mobile Robots Facing Obstacles

1. 加载数据: V _ { R } (右轮速度), V _ { L } (左轮速度), $L$ (轴长), 机器人当前位置 P _ { 1 } = ( X _ { 1 } , Y _ { 1 } ), 障碍物位置 O _ { i } = ( X _ { O i } , Y _ { O i } )。
2. 计算: 下一步预测位置 P _ { 2 } = ( X _ { 2 } , Y _ { 2 } ), P _ { 2 } 与障碍物 O _ { i } 的距离 $d _ { i } = \lVert P _ { 2 } - O _ { i } \rVert$，机器人移动的距离 $\Delta P = \| P _ { 2 } - P _ { 1 } \|$，障碍物 O _ { i } 的大小 $\Vert O _ { i } \Vert$。
3. 判断并执行:
   • 如果 $d _ { i } < \Delta P$ (预测下一步会撞到障碍物) 并且 $\| O _ { i } \| < L$ (障碍物尺寸小于机器人轴长，意味着可能被越过或需要精细避让) 则
     • 避让 (后退) (Avoid (Back))
   • 结束 If

4.2.7.3. 区域覆盖率 (Area Coverage Rate, C)

为了评估机器人的导航性能，使用覆盖率 $C$ 来量化效率。测试空间被均匀网格化，机器人一旦遍历某个网格，该网格就被标记为已覆盖。 $C$ 的定义如下： $$C = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } M ( i ) } { N } \times 1 0 0 \%$$ 其中：

• $N$ 是总网格数，等于地图尺寸与网格尺寸之比（每个网格尺寸为 $1 \mathrm { m } \times 1 \mathrm { m }$）。
• M ( i ) 表示第 $i$ 个网格的覆盖情况： $$M ( i ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , { \mathrm { i f ~ t h e ~ g r i d ~ i s ~ u n t r a v e r s e d } } } \\ { 1 , { \mathrm { i f ~ t h e ~ g r i d ~ i s ~ t r a v e r s e d } } } \end{array} \right. }$$ 网格地图不仅显示哪些网格被访问过，还显示访问的频率，最高重复遍历次数 (maximum repetitive traversals, MRT) 是一个重要的辅助指标。

5. 实验设置

本节详细介绍数值仿真、硬件实现和机器人导航实验所采用的设置、参数和评估指标。

5.1. 数据集

对于神经网络动力学分析，没有使用传统意义上的数据集，而是通过设置不同的系统参数和初始条件来观察和分析模型的动态行为。

对于物联网机器人导航的应用，实验在一个模拟的 $20 \mathrm { m } \times 20 \mathrm { m }$ 的方形区域内进行。该区域可以是无障碍的，也可以包含不同形状和大小的障碍物（矩形或圆形）。

5.2. 评估指标

5.2.1. 神经网络动力学评估指标

5.2.1.1. 分岔图 (Bifurcation Diagram)

• 概念定义: 分岔图是一种图形工具，用于展示系统在某个参数连续变化时，其稳定状态或吸引子如何发生定性变化。它通过绘制系统某一状态变量的局部极大值（或采样值）随参数变化的曲线来揭示周期解、混沌解以及各种分岔现象。
• 数学公式: 没有统一的数学公式来表示分岔图本身，它通常是通过数值模拟获得的。对于离散系统，绘制状态变量 $x_n$ 的值作为参数的函数；对于连续系统，通常绘制庞加莱截面 (Poincaré section) 或局部极大值。
• 符号解释:
  • $x$: 系统的一个状态变量。
  • 参数 (例如 $p$): 引起系统行为定性变化的控制参数。

5.2.1.2. 李雅普诺夫指数 (Lyapunov Exponents, LEs)

• 概念定义: 李雅普诺夫指数是量化动力学系统对初始条件敏感性的一个指标，用于判断系统的稳定性或混沌程度。正的李雅普诺夫指数意味着系统行为是混沌的，而负的李雅普诺夫指数则表示系统收敛到稳定状态。一个 $N$ 维系统有 $N$ 个李雅普诺夫指数，通常按降序排列 ($LE_1 \ge LE_2 \ge \dots \ge LE_N$)。最大李雅普诺夫指数 ($LE_{\text{max}}$ 或 $LE_1$) 是判断混沌的关键。
• 数学公式: 对于一个离散动力学系统 $x_{k+1} = f(x_k)$ 或连续动力学系统 $\dot{x} = f(x)$，李雅普诺夫指数 $\lambda$ 定义为： $$\lambda = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \ln \frac{\|\delta \mathbf{x}(t)\|}{\|\delta \mathbf{x}(0)\|}$$ 对于一系列李雅普诺夫指数，通常通过计算雅可比矩阵的特征值来得到。
• 符号解释:
  • $\lambda$: 李雅普诺夫指数。
  • $t$: 时间。
  • $\delta \mathbf{x}(t)$: 初始微小扰动 $\delta \mathbf{x}(0)$ 在时间 $t$ 后的演化。
  • $\|\cdot\|$: 向量的范数。
  • $\ln$: 自然对数。
• 混沌判断: 如果 $LE_{\text{max}} > 0$，则系统是混沌的。

5.2.1.3. 多稳态 (Multistability)

• 概念定义: 多稳态不是一个量化指标，而是一种系统现象，指在相同的系统参数下，由于初始条件不同，系统可以演化到多个不同的吸引子（例如点吸引子、周期吸引子或混沌吸引子）。
• 评估方式: 通过绘制吸引域 (basins of attraction) 来可视化。吸引域是初始条件空间中的区域，每个区域内的初始条件都会导致系统收敛到特定的吸引子。

5.2.1.4. 幅度控制 (Amplitude Control)

• 概念定义: 幅度控制是指通过调整系统参数，能够在不改变系统动力学性质（如混沌性）的前提下，改变系统输出信号的振幅。这在工程应用中非常重要，因为它允许在保持复杂行为的同时，对信号强度进行灵活调节。
• 评估方式: 通过绘制状态变量的局部最大值或峰峰值随参数变化的曲线，观察其整体趋势。

5.2.2. 机器人导航评估指标

5.2.2.1. 区域覆盖率 (Area Coverage Rate, C)

• 概念定义: 区域覆盖率用于评估机器人在给定地图区域内的探索效率。它表示机器人已遍历的网格数量占总网格数量的百分比。
• 数学公式: $$C = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } M ( i ) } { N } \times 1 0 0 \%$$
• 符号解释:
  • $C$: 区域覆盖率。
  • $N$: 地图区域中的总网格数量。
  • M ( i ): 第 $i$ 个网格的覆盖情况，$M ( i ) = 1$ 表示网格已被遍历，$M ( i ) = 0$ 表示网格未被遍历。

5.2.2.2. 最高重复遍历次数 (Maximum Repetitive Traversals, MRT)

• 概念定义: MRT 表示机器人在某个网格上停留或重复遍历的最大次数。较低的 MRT 通常意味着更高的探索效率和更少的冗余路径，但有时在复杂环境中，为了绕过障碍物或探索死角，MRT 可能局部升高。
• 数学公式: 没有统一的数学公式，通常是统计所有网格被访问次数的最大值。 $$\mathrm{MRT} = \max_{i \in \{1, \dots, N\}} (\text{count of times grid } i \text{ is traversed})$$
• 符号解释:
  • $\mathrm{MRT}$: 最高重复遍历次数。
  • $N$: 地图区域中的总网格数量。

5.2.2.3. 避障性能 (Obstacle Avoidance Performance)

• 概念定义: 避障性能评估机器人能否有效感知并成功避开环境中的障碍物，同时尽量减少对区域覆盖率的影响。
• 评估方式: 通过在包含不同形状和大小障碍物的地图中运行机器人，观察其运动轨迹，并结合区域覆盖率和 MRT 来判断。成功避障意味着机器人没有与障碍物发生碰撞，并且能够继续探索未被障碍物占据的区域。

5.3. 对比基线

在机器人导航性能评估中，本文将所提出的基于 MCCNN 的机器人与以下基线模型进行了比较：

• 经典随机碰撞 (classic random collision, RC): 一种基本的导航策略，机器人随机移动，并在检测到碰撞时采取避障措施。
• 参考文献 [14] (Ref.[14]): 可能是指基于忆阻 Hopfield 神经网络的图像加密应用，这里将其神经网络用于机器人驱动进行对比。
• 参考文献 [15] (Ref.[15]): 可能是指基于 FHN-HR 神经元网络的 DSP 实现，这里将其神经元网络用于机器人驱动进行对比。 这些基线代表了不同类型的神经网络驱动和传统随机导航方法，能够有效地验证本文方法的优越性。

6. 实验结果与分析

本节详细分析 MCCNN 的动力学特性、硬件实现结果以及其在物联网机器人导航中的应用性能。

6.1. 神经网络动力学分析

6.1.1. 参数相关动力学

本部分通过改变系统参数来研究 MCCNN 的动力学演化过程，以 MCCNN (A) 和 MCCNN (B) 为例。

6.1.1.1. MCCNN (A) 的参数依赖动力学

对于 MCCNN (A)，设置参数 $a = 3$, $b = 2 . 2 5$, $c = 1 . 2 5$，初始条件 (IC) 为 [1, 1, 1]。通过改变耦合强度 $p \in [0, 2.50]$，可以得到分岔图和李雅普诺夫指数 (LEs) 如图 Figure 4(a) 和 (b) 所示。

Figure 4. Numerical analysis for parameter-relied dynamics: (a) bifurcation diagram. (b) LEs. (c) point attractor with $p = 0 . 5$ (d) period-1 attractor with $p = 1$ (e) period-2 attractor with $p = 1 . 2 1$ (f) chaotic attractor with $p = 2$ .

• 分岔图与 LEs 分析:
  • Figure 4(a) 展示了 MCCNN (A) 经历了一条典型的倍周期分岔 (period-doubling bifurcation) 通向混沌的路径。
  • Figure 4(b) 的 LEs 曲线与分岔图一致，进一步确认了动力学行为。
  • 当 $p \in [0, 0.66]$ 时，系统处于稳定状态 (stable state)，所有 LEs 均为负值，对应 Figure 4(c) 的点吸引子 (point attractor) ($p=0.5$ 时)。
  • 当 $p \in (0.66, 1.37]$ 时，系统进入周期状态 (periodic state)。在此区间内，LEs 中有一个为零，其余为负。Figure 4(d) 展示了 $p=1$ 时的周期-1 吸引子 (period-1 attractor)，Figure 4(e) 展示了 $p=1.21$ 时的周期-2 吸引子 (period-2 attractor)。
  • 当 $p \in (1.37, 2.50]$ 时，系统进入混沌状态 (chaotic state)，最大李雅普诺夫指数 (LEs_max) 大于零。Figure 4(f) 展示了 $p=2$ 时的混沌吸引子 (chaotic attractor)。

6.1.1.2. MCCNN (B) 的双参数 LEs 分析

对于 MCCNN (B)，设置参数 a _ { 1 } = a _ { 2 } = 4, b _ { 1 } = b _ { 2 } = 1 0, c _ { 1 } = c _ { 2 } = 1，IC 为 [1, 1, 1, 1]。

• 耦合强度 $p_1, p_2$ 的影响: Figure 5(a) 展示了双参数 $p _ { 1 } \in [0, 2]$ 和 $p _ { 2 } \in [0, 2]$ 变化时，最大李雅普诺夫指数 ($LE_{\text{max}}$) 的分布。这表明 MCCNN (B) 在 $p_1$ 和 $p_2$ 共同变化时，表现出复杂的动力学（稳定、周期和混沌状态）。与 MCCNN (A) 相比，MCCNN (B) 的混沌特性更为显著，因为 $LE_{\text{max}} > 1.2$ 的区域更大。

• 参数 $c_1, c_2$ 的影响: Figure 5(b) 展示了双参数 $c _ { 1 } \in [0, 2]$ 和 $c _ { 2 } \in [0, 2]$ 变化时，最大李雅普诺夫指数 ($LE_{\text{max}}$) 的分布。$LE_{\text{max}}$ 在双参数平面上的分布趋势是中心区域较大，而边缘区域较小。分析表明，MCCNN (B) 可以从周期态逐渐过渡到混沌态，反之亦然。

  该图像是图表，展示了MCCNN的双参数$\mathrm{LE}_{\mathrm{max}}$分析。其中左侧（a）的参数范围为$p_1 \in [0, 2]$和$p_2 \in [0, 2]$，右侧（b）的参数范围为$c_1 \in [0, 2]$和$c_2 \in [0, 2]$。图中采用色阶表示不同参数下的动态特性。 Figure 5. Dual-parameter $\mathrm { L E } _ { \mathrm { m a x } }$ analysis of MCCNN (B): (a) $p _ { 1 } \in [ 0 , 2 ]$ and $p _ { 2 } \in [ 0 , 2 ]$ (b) $c _ { 1 } \in [ 0 , 2 ]$ and $c _ { 2 } \in [ 0 , 2 ]$ .

这些研究结果表明，通过途径 I 构建不同的 MCCNN 是可行的，并且随着 EMR 数量的增加，MCCNN 的混沌特性可以得到增强。

6.1.2. 多样多稳态 (Diverse Multistability)

MCCNN 在不同初始条件下可以产生多样多稳态，包括同质多稳态 (homogeneous multistability) 和异质多稳态 (heterogeneous multistability)。

6.1.2.1. MCCNN (A) 的同质多稳态

对于 MCCNN (A)，设置参数 $p = 2, a = 3, b = 2.25, c = 1.25$。

• Figure 6(a) 展示了从 ICs [1, 1, 1] (绿色) 和 $[1, 1, -1]$ (橙色) 产生的两对混沌吸引子。这表明 MCCNN (A) 可以产生同质多稳态。

• Figure 6(b) 绘制了在 $x_1(0) = 1$ 固定时，初始平面 $x_2(0) \in [-5, 5], \varphi(0) \in [-5, 5]$ 上的吸引域 (basins of attraction)。不同颜色区域对应不同的吸引子。

  该图像是图表，展示了MCCNN的均匀多稳态特性。(a) 为相位图，(b) 为以 $x_{1}(0) = 1$ 的初始平面 $x_{2}(0) ot - ho(0)$ 上的吸引域。 Figure 6. Homogenous multistability of MCCNN (A): (a) phase diagram. (b) basins of attraction in the $x _ { 2 } ( 0 ) { \not - } \varphi ( 0 )$ initial plane with $x _ { 1 } ( 0 ) = 1$ .

6.1.2.2. MCCNN (D) 的同质与异质多稳态

MCCNN (D) 展示了更丰富的同质和异质多稳态。所有情况下 $p_1 = p_2 = 1$，且固定 $x_1(0) = x_2(0) = x_3(0) = 1$。

• 同质多稳态 (Figure 7(a)):

  • Figure 7(a1): 参数 $a_1 = 4, a_2 = 5, b_1 = 10, b_2 = 8, c_1 = c_2 = 0.25$。由 $\mathrm{IC_1} = \pm [1, 1, 1, -5, -4]$ 和 $\mathrm{IC_2} = \pm [1, 1, 1, 1, 1]$ 产生两对周期-3 吸引子和两对周期-4 吸引子。
  • Figure 7(a2): 参数 $a_1 = a_2 = 8, b_1 = b_2 = 10, c_1 = c_2 = 0.22$。由 $\mathrm{IC_2}$ 和 $\mathrm{IC_3} = \pm [1, 1, 1, -4, -4]$ 产生四对混沌吸引子。
  • Figure 7(a3): 参数 $a_1 = 4, a_2 = 8, b_1 = b_2 = 10, c_1 = c_2 = 0.25$。由 $\mathrm{IC_1}$ 和 $\mathrm{IC_2}$ 产生四对混沌吸引子。

• 异质多稳态 (Figure 7(b)):

  • Figure 7(b1): 参数 $a_1 = 4, a_2 = 8, b_1 = b_2 = 10, c_1 = c_2 = 0.2$。由 $\mathrm{IC_2}$ 和 $\mathrm{IC_3}$ 产生两对混沌吸引子和两对周期-2 吸引子。
  • Figure 7(b2): 参数 $a_1 = 4, a_2 = 5, b_1 = b_2 = 10, c_1 = c_2 = 0.25$。由 $\mathrm{IC_2}$ 和 $\mathrm{IC_4} = \pm [1, 1, 1, -5, -5]$ 产生两对周期-4 吸引子和两对混沌吸引子。
  • Figure 7(b3): 参数 $a_1 = a_2 = 1, b_1 = 10, b_2 = 8, c_1 = 0.4, c_2 = 0.5$。由 $\mathrm{IC} = [1, 1, 1, 1, 1]$ 产生一个混沌吸引子，由 $\pm [1, 1, 1, 1, -5]$ 产生两对周期-1 吸引子。

• 吸引域 (Figure 7(a4)-(a6) 和 (b4)-(b6)): 绘制了在 $\varphi_1(0) \in [-5, 5]$ 和 $\varphi_2(0) \in [-5, 5]$ 平面上的吸引域。吸引域显示出不同颜色区域之间清晰且多样的层叠，中心区域边界清晰，边缘区域颜色交织混合，呈现出极其复杂的图案。这进一步展示了 MCCNN (D) 动力学的复杂性。

  Figure 7. Diverse multistability of MCCNN (D): (a) homogenous multistability. (b) heterogeneous multistability.

上述分析表明，MCCNN 的最终状态高度依赖于初始条件，从而产生丰富的多稳态。这些多稳态为 MCCNN 在安全通信和机器人导航等领域提供了更多应用选择，同时也赋予 MCCNN 良好的鲁棒性，使其具有多种可靠的工作模式以适应环境变化。

6.1.3. 幅度控制 (Amplitude Control)

MCCNN 还存在大规模参数相关的幅度控制特性。以 MCCNN (B) 为例，设置参数 a _ { 1 } = a _ { 2 } = 4, b _ { 1 } = b _ { 2 } = 1 0, c _ { 1 } = c _ { 2 } = 1，IC 为 [1, 1, 1, 1]。

• Figure 8(a) 和 (b) 分别展示了信号 $x_1$ 和 $x_2$ 的上限值随参数 $p_1 \in [0, 100]$ 和 $p_2 \in [0, 100]$ 变化的情况。

• 结果表明，当参数 $p_1$ (或 $p_2$) 增加时，信号 $x_1$ 和 $x_2$ 的最大值随之增加，而其他参数基本不受影响。这意味着 MCCNN 可以在大参数范围内通过简单调整参数来产生不同幅度的混沌信号，而无需额外的调制方法。

  该图像是图表，展示了关于参数 $p_1 \in [0, 100]$ 和 $p_2 \in [0, 100]$ 的幅度控制。图（a）显示了信号 $x_1$ 的最大值分布，图（b）显示了信号 $x_2$ 的最大值分布。两幅图均为三维可视化，展示了不同参数组合下信号幅度的变化情况。 Figure 8. Amplitude control about parameters $p _ { 1 } \in [ 0 , 1 0 0 ]$ and $p _ { 2 } \in [ 0 , 1 0 0 ]$ . (a) maximum of signal x _ { 1 } . (b) maximum of signal x _ { 2 } .

这种特性使得 MCCNN 具有鲁棒性和低成本优势，具有更广泛的潜在应用。

6.2. 硬件实现结果

为了验证 MCCNN 的物理存在性和可行性，本文通过模拟电路和数字硬件平台对 MCCNN (B) 和 (F) 进行了实现和测试。

6.2.1. 模拟电路实验结果

Figure 10(a) 展示了 MCCNN (B) 在模拟电路实验中观测到的 $\nu _ { 3 } - \nu _ { 4 }$ 相位图上的混沌吸引子，Figure 10(b) 展示了 $\nu _ { 3 }$ (红色) 和 $\nu _ { 4 }$ (绿色) 的信号波形。

该图像是图10的实验结果：左侧(a)显示了$u_{3}- u_{4}$相位的混沌吸引子，右侧(b)展示了信号$u_{3}$（红色）和$u_{4}$（绿色）的波形。 Figure 10. Experimental outcomes of Fig. 9: (a) chaotic attractor on $\\nu _ { 3 } - \\nu _ { 4 }$ phase. (b) signals of $\\nu _ { 3 }$ (red) and $\\nu _ { 4 }$ (green).

与 Figure 2(b) 的数值仿真结果对比，模拟电路实验成功复现了数值结果，验证了 MCCNN (B) 的物理存在性。

6.2.2. 数字硬件平台实验结果

Figure 11(a) 展示了基于 STM32 的微控制器硬件平台。Figure 11(b) 和 (c) 分别展示了 MCCNN (B) 和 MCCNN (F) 在该数字硬件平台上实现的混沌吸引子。

Figure 11. Hardware implementation and experimental outcomes of MCCNN: (a) hardware platform; (b) chaotic attractor of MCCNN (B); (c) chaotic attractor of MCCNN (F).

实验结果与理论数值仿真结果直观吻合，证明了所提出方法的实际可行性。MCU 计算的 flash 占用率为 1.2%，RAM 占用率为 8.2%，计算更新周期为 $2.89 \mu s$，显示出高效性。

6.3. 物联网机器人导航应用结果

本部分评估了由 MCCNN (B) 驱动的物联网移动机器人 (9) 在区域覆盖和避障方面的性能。

6.3.1. 机器人运动轨迹分析

• 无边界约束的运动轨迹 (Figure 13(b)): 设置 MCCNN (B) 参数为 p _ { 1 } = p _ { 2 } = 1, a _ { 1 } = a _ { 2 } = 4, b _ { 1 } = b _ { 2 } = 1 0, c _ { 1 } = c _ { 2 } = 1，机器人初始条件为 $[x_1(0), x_2(0), \varphi_1(0), \varphi_2(0)] = [1, 1, 1, 1+\Delta r]$ 和 $[X(0), Y(0), \theta(0)] = [0, 0, 0]$，总迭代次数 $N=1500$。
  • 当 $\Delta r = 0, \pm 10^{-15}$ 时，机器人产生三条明显不同的运动轨迹（红、绿、蓝），这验证了 MCCNN 混沌系统的初始敏感性。
  • 机器人能够自由遍历较大区域，且冗余轨迹较少。
• 有边界约束的运动轨迹 (Figure 13(c)): 在 $20 \mathrm{m} \times 20 \mathrm{m}$ 的方形区域内，机器人配置和参数与 Figure 13(b) 相同。

  • 机器人轨迹表现出与机器人配置高度相关的特性。当机器人传感器检测到边界时，会根据 Algorithm 1 策略进行运动规划。

  • 这表明通过选择不同的初始条件和参数作为密钥，可以在物联网框架内传输地图数据，实现安全认证用户获取正确的轨迹数据。

    Figure 13. Illustration of the TDDR: (a) dynamic model. (b) motion trajectory without boundary constraints. (c) motion trajectory with boundary constraints. (d) grid map outcome.

6.3.2. 区域覆盖率和 MRT 分析

• 网格地图结果 (Figure 13(d)): 设置 $[x_1(0), x_2(0), \varphi_1(0), \varphi_2(0)] = [1, 1, 1, 1]$，机器人初始位置 $[X(0), Y(0), \theta(0)] = [0, 0, 0]$，迭代次数 $N=1500$。

  • 机器人可以在有限的迭代次数内遍历 $86.50\%$ 的空间。
  • 在左下角区域存在一些停留，最高重复遍历次数 (MRT) 为 18。

• 覆盖性能随迭代次数 $N$ 的变化 (Figure 14):

  Figure 14. Outcomes of robot (9) about the number of iteration $N$ .

  • 随着 $N$ 的增加，未遍历的网格数量逐渐减少，覆盖率 $C$ 呈指数增长趋势。
  • 当 $N=5000$ 时，机器人完全覆盖了整个空间，覆盖率 $C$ 达到 $100\%$。
  • MRT 也随 $N$ 的增加而增加，但保持相对较低，最大值为 49。

6.3.3. 与基线方法的性能比较

设置 $N=3000$，在 $20 \mathrm{m} \times 20 \mathrm{m}$ 的方形区域内随机确定机器人初始位置，并进行 200 次重复实验。Figure 15 展示了由经典随机碰撞 (RC)、参考文献 [14]、参考文献 [15] 和本文机器人 (9) 驱动的 TDDR 的性能对比结果。

Figure 15. Performance comparison of different IoT-based robots.

• 所有方法都能覆盖大部分地图区域，但效率和性能有所不同。
• 本文提出的机器人 (9) 在覆盖率 $C$ 和 MRT 方面均优于 RC 和参考文献 [14]、[15] 的方法。
• 机器人 (9) 能更稳定地获得更高的 $C$，同时保持相对较低的 MRT。
• 数据具有良好的中心趋势，极端情况较少。 这些结果证明了 MCCNN 卓越的随机性和遍历性，使得移动机器人能够高效探索整个地图。

6.3.4. 避障性能测试

为了研究机器人的避障能力，本文建立了包含不同形状和大小障碍物的地图。设置 $N=2500$，初始条件 $[x_1(0), x_2(0), \varphi_1(0), \varphi_2(0)] = [1, 1, 1, 1]$，初始位置 $[X(0), Y(0), \theta(0)] = [0, 0, 0]$。

• 单个矩形障碍物 (Figure 16(a)): 地图包含一个 $16 \mathrm{m} \times 4 \mathrm{m}$ 的矩形障碍物 $O_1 = \{ (X_{O1}, Y_{O1}) | X_{O1} \in [2, 18], Y_{O1} \in [8, 12] \}$。

  • 机器人能高效避开障碍物，并均匀地围绕其周围区域进行覆盖。
  • 障碍物附近区域的 MRT 较高，最大值为 31。
  • 计算覆盖率 $C = 96.30\%$ (排除障碍物占据的网格)。

• 单个圆形障碍物 (Figure 16(b)): 地图包含一个圆心为 $(10, 10)$、半径为 $5 \mathrm{m}$ 的圆形障碍物 $O_2$。

  • 机器人能有效避开障碍物，覆盖率 $C = 99.06\%$，并且在局部存在一些高重复遍历区域。

• 多个矩形障碍物 (Figure 16(c) 和 (d)): 地图包含两个矩形障碍物 $O_3$ ($15 \mathrm{m} \times 5 \mathrm{m}$) 和 $O_4$ ($4 \mathrm{m} \times 8 \mathrm{m}$)。

  • Figure 16(c) 的初始条件为 [1, 1, 1, 1]。覆盖率 $C = 86.69\%$，地图底部出现一些密集区域，MRT 高达 60。这是由于机器人进入被障碍物和地图边界包围的狭窄通道时，Algorithm 1 频繁被激活，增加了在同一网格的停留次数。
  • Figure 16(d) 的初始条件为 $[1, 1, 1, -1]$ (利用 MCCNN 的多稳态特性)。覆盖率 $C = 92.15\%$，MRT 降低到 30。这表明利用多稳态提供的不同操作模式，机器人能更好地应对复杂地形。

• 多个圆形障碍物 (Figure 16(e) 和 (f)): 地图包含两个圆形障碍物 $O_2$ (圆心 $(10, 10)$, 半径 $5 \mathrm{m}$) 和 $O_5$ (圆心 $(4, 4)$, 半径 $3 \mathrm{m}$)。

  • Figure 16(e) 和 (f) 中，机器人在两个障碍物下方移动时停留更为密集，MRT 分别达到 38 和 36。

  • 在较少迭代后，机器人最终成功离开障碍物边界，覆盖率 $C$ 分别达到 $86.05\%$ 和 $99.32\%$。

    Figure 16. Obstacle avoidance test: (a) single rectangular obstacle. (b) single circular obstacle. $\\mathrm { ( c ) } { \\sim } ( \\mathrm { d } )$ multiple rectangular obstacles. $\\mathrm { ( e ) } { \\sim } \\mathrm { ( f ) }$ multiple circular obstacles.

上述测试表明，本文提出的机器人 (9) 具有良好的导航能力，能够有效地避开障碍物并实现区域覆盖，为基于物联网的机器人导航提供了一个可选解决方案。

7. 总结与思考

7.1. 结论总结

本文提出了一种通过忆阻器电磁辐射 (EMR) 增强神经网络动力学的通用方法，并以忆阻中央循环神经网络 (MCCNN) 为例，详细阐述了其构建和动力学增强过程。研究发现，MCCNN 具有丰富的动力学特性，包括参数依赖的分岔过程、大规模幅度控制以及初始条件相关的多样多稳态（同质和异质）。通过模拟电路和数字硬件平台，验证了 MCCNN 的物理存在性和实际部署可行性。最终，将 MCCNN 产生的混沌信号应用于驱动基于物联网的移动机器人，并通过大量实验验证了其在区域覆盖和避障方面的卓越性能，为物联网场景下的机器人导航与安全提供了新颖可行的解决方案。

7.2. 局限性与未来工作

论文作者指出了以下局限性及未来的研究方向：

1. 通用方法的拓扑局限： MCCNN 主要展示了针对中央循环神经拓扑结构 MNN 的动力学增强通用方法。未来的工作应深入研究针对不同类型、性质和拓扑结构神经网络的通用方法及其相应分析。
2. 物联网机器人导航的深入优化： 本文对基于 MCCNN 驱动的物联网机器人导航进行了初步分析和测试，但其效率、协作和决策仍需深入研究。这意味着需要开发更高效合理的控制策略，以提高单个机器人或机器人集群的工作效率和性能。
3. 物联网环境下的安全与信任机制： 在物联网环境中，有效识别和信任不同设备和节点以保护任务和数据至关重要。未来研究应着重于建立能够实现这一目标的框架。

7.3. 个人启发与批判

7.3.1. 个人启发

• 忆阻器在增强动力学方面的潜力： 忆阻器的非线性和记忆特性确实是增强神经网络动力学复杂性的强大工具。本文通过扩展忆阻器数量和神经元数量来系统地探索这一点，为设计具有丰富行为模式的类脑系统提供了清晰的路径。这种“结构化复杂性”的构建方法具有很强的启发性，可以借鉴到其他非线性系统设计中。
• 混沌在机器人导航中的实用性： 混沌系统的遍历性和初始敏感性使其成为探索未知环境的理想选择。本文将这种理论优势成功地转化为了实际应用，并证明了其在区域覆盖和避障方面的优越性，这为其他需要智能探索和路径规划的应用（如无人机侦察、水下探测）提供了新的思路。
• 多稳态的工程价值： 系统具有多样多稳态意味着在相同的硬件/参数配置下，可以通过改变初始条件获得多种工作模式。这不仅增加了系统的鲁棒性，也为系统在不同任务或环境下的自适应调整提供了可能，例如在不同复杂度的避障场景中切换不同的吸引子模式。
• 软硬件一体化思维： 从理论模型、数值仿真到模拟电路和数字硬件实现，再到实际机器人应用，本文展示了完整的科研链条。这种软硬件一体化的验证方式是确保研究成果实用性的关键，也提醒我们在进行理论研究时需考虑其物理可实现性。

7.3.2. 潜在问题、未经验证的假设或可改进之处

• 忆阻器模型的通用性与可控性： 本文使用的忆阻器模型是 tanh(·) 配置。尽管提到了其他可能的忆导函数形式，但并未深入探讨不同忆阻器模型对整体 MCCNN 动力学和机器人性能的具体影响。未来的研究可以探索更复杂的忆阻器模型或自适应忆阻器，以进一步优化性能。
• 参数敏感性与鲁棒性： 混沌系统对参数和初始条件敏感是其特性，但对于实际应用，过度敏感可能导致系统行为难以精确控制。虽然提到了幅度控制，但在特定应用场景下如何平衡混沌的优势与对敏感性的控制，可能需要更精细的参数自适应或鲁棒控制策略。
• 机器人避障策略的深度： Algorithm 1 是一个相对简单的避障策略（检测到碰撞风险就后退）。在极其复杂的、动态变化的真实环境中，可能需要更高级的避障算法，例如基于强化学习、预测控制或模糊逻辑的策略，以实现更流畅、更智能的避障行为，尤其是在多个障碍物和狭窄通道的场景中。
• 物联网层面的安全与效率： 论文提到 IoT-based 机器人导航，并暗示了通过初始条件作为“密钥”进行数据安全认证的可能性，但并未详细展开在物联网架构下如何确保地图数据传输的完整性、隐私性以及机器人群体的协同效率和安全性。这是未来研究的重点，需要更全面的网络安全和分布式控制框架。
• 功耗与计算效率： 虽然数字硬件平台（STM32 MCU）的资源占用率较低，但在大规模神经网络和多机器人协同场景下，功耗和计算效率仍是关键考量。进一步优化算法、利用专用硬件加速器（如 FPGA）或边缘计算，可以提升其实时性和可扩展性。
• 与生物机制的更深层连接： 论文以生物神经回路为灵感，但 MCCNN 的拓扑结构和动力学特性与实际生物神经系统的联系可以更深入地探讨。例如，如何通过忆阻器更好地模拟突触可塑性 (synaptic plasticity) 和学习能力，从而使机器人具备更强的环境适应和学习能力。