1. 论文基本信息

1.1. 标题

Predictive multiuser redirected walking using artificial potential fields
（基于人工势场的预测性多用户重定向行走）

1.2. 作者

Christian Hirt, Noah Isaak, Christian Holz, Andreas Kunz
隶属机构：苏黎世联邦理工学院 (ETH Zurich)，机械与过程工程系 & 计算机科学系。

1.3. 发表期刊/会议

Frontiers in Virtual Reality
这是一本在虚拟现实领域具有一定影响力的开放获取（Open Access）期刊。

1.4. 发表年份

2024年8月8日

1.5. 摘要

本文旨在解决虚拟现实（VR）中“真实行走”受物理空间限制的问题。作者提出了两种新型的预测性重定向行走（Predictive RDW）系统，允许多名用户在同一物理空间（Colocated）内探索无约束的虚拟环境。系统基于两种新的回旋曲线（Clothoid）轨迹预测算法，并结合了非谐人工势场（Non-harmonic APFs）的成本规划。通过一项包含150名参与者（75对）的用户研究，结果表明新型预测系统在大多数情况下优于现有的反应式方法。

1.6. 原文链接

Paper PDF (Open Access)

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2. 整体概括

2.1. 研究背景与动机

• 核心矛盾： 在VR中，“真实行走（Real Walking）”提供了最佳的沉浸感和前庭觉反馈，但物理空间（如实验室、客厅）通常远小于广阔的虚拟环境。
• 现有解决方案： 重定向行走（Redirected Walking, RDW） 通过欺骗用户的视觉（如在用户直线行走时微调虚拟画面，使其在物理世界不知不觉地走曲线），将大虚拟空间压缩进小物理空间。
• 主要挑战（Gap）：
  1. 多用户共存难： 大多数现有算法仅针对单用户设计，无法处理多人在同一物理空间漫游时的碰撞避免问题。
  2. 预测性方法的局限： 现有的预测性RDW通常依赖于预定义的“骨架图（Skeleton Graphs）”（即限制用户只能走特定的走廊），无法应用于开放、无约束的虚拟空间。
  3. 反应式方法的不足： 基于人工势场（APF）的现有方法大多是“反应式（Reactive）”的，即只根据当前状态进行引导，缺乏对未来路径的规划，导致引导效率较低。

2.2. 核心贡献

1. 两种新型预测算法： 提出了 LPP (Lemniscate Path Prediction) 和 FPP (Forward Path Prediction)，均基于回旋曲线，适用于开放空间且无需预定义路径图。

2. 融合框架： 将上述预测算法与非谐人工势场（Non-harmonic APFs）相结合。APF不仅用于避障（包括墙壁和其他用户），还作为成本函数的一部分来评估预测路径的优劣。

3. 大规模用户研究： 进行了150人的双人共处一室（Colocated）实验，验证了算法在复杂环境下的有效性。

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3. 预备知识与相关工作

3.1. 基础概念

为了理解本文，初学者需要掌握以下三个核心概念：

• 重定向行走 (Redirected Walking, RDW):
  • 增益 (Gains): 施加在用户视觉上的微小偏差。包括平移增益（走的快慢）、旋转增益（转的多少）和曲率增益（走直线变走曲线）。只要偏差在感知阈值内，用户就不会察觉。
  • 重置 (Reset): 当用户即将撞墙且无法通过增益引导避开时，系统会强制停止用户，并要求其原地旋转（如旋转360度，但在虚拟中只转很少角度，从而改变物理朝向）。重置会打断沉浸感，因此重置次数越少越好。
• 人工势场 (Artificial Potential Fields, APF):
  • 源自机器人路径规划。将物理空间建模为一个力场：障碍物（墙壁、其他用户）产生斥力（高势能），空旷区域产生引力（低势能）。用户就像一个粒子，被力场“推”向安全区域。
  • 非谐 (Non-harmonic): 相比于谐波势场，非谐势场计算更简单，能处理非凸形状（复杂的房间形状），且不容易陷入局部极小值。
• 回旋曲线 (Clothoid):
  • 一种曲率随弧长线性变化的曲线（常用于公路设计的缓和曲线）。由于人类行走的轨迹曲率通常是连续变化的，回旋曲线比圆弧或直线更能准确拟合人类的自然行走路径。

3.2. 技术演进与差异化

• 反应式 (Reactive): 如 Steer-to-Center (S2C)（始终引导用户走向中心）和 Steer-to-Gradient (S2G)（基于势场梯度的即时引导）。
  • 缺点： 鼠目寸光，只看当下，容易把用户导向局部死胡同。
• 脚本式 (Scripted): 预先设计好路径。
  • 缺点： 剥夺了用户的自由探索权。
• 传统预测式 (Predictive): 如 RFED 或 MPCRed。
  • 缺点： 依赖“骨架图”，即假设虚拟环境是走廊连接的节点。
• 本文方法 (PredRed):

  • 创新点： 结合了预测（Prediction）和势场（APF）。预测部分不依赖骨架图，而是基于用户当前的运动趋势生成回旋曲线，使其能适应开放空间（Open Space）。同时利用APF处理动态障碍物（第二个用户）。

    下图（原文 Figure 1）展示了多用户在同一物理空间内，通过人工势场进行重定向的概念：

    该图像是插图，展示了多个用户在物理重叠的环境中进行的高效行走引导，依据非谐人工势场实现。图中可见一名用户在虚拟环境中行走，周围是各类设备，表明此设置旨在优化用户在有限空间内探索虚拟场景的体验。

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4. 方法论

本文提出的系统名为 PredRed，包含两个变体：PredRed LPP 和 PredRed FPP。其核心流程是：状态更新 -> 路径预测 -> 候选重定向生成 -> 成本评估 -> 应用最佳策略。

4.1. 预测算法一：双纽线路径预测 (LPP)

LPP (Lemniscate Path Prediction) 的核心思想是用一个“双纽线（8字形）”形状来限定可能的行走区域，并在其中生成多条候选的回旋曲线。

4.1.1. 双纽线形状生成

为了限制搜索空间，作者使用双纽线形状。其参数方程如下：

$$\begin{array} { l } { \displaystyle { x \left( t \right) = A _ { L e m } \cdot \frac { s i n \left( t \right) } { 1 + c o s ^ { 2 } \left( t \right) } } } \\ { \displaystyle { y \left( t \right) = A _ { L e m } \cdot \frac { s i n \left( t \right) c o s \left( t \right) } { 1 + c o s ^ { 2 } \left( t \right) } } , } \end{array}$$

• 符号解释：
  • $A_{Lem}$：定义双纽线大小的常数（文中设定为 3米 的视界）。
  • $t$：运行变量，取值范围 $t \in (0, \pi)$，仅使用双纽线的正半部分（即用户前方的区域）。

4.1.2. 场景感知与筛选

LPP 生成一组落在这个形状内的候选回旋曲线，然后进行碰撞检测（Scene Awareness）。

• 场景感知： 如果某条预测路径与虚拟墙壁碰撞，则直接剔除。

• 最优路径选择： 在剩余的可行路径中，选择与用户历史路径最相似的一条。

  下图（原文 Figure 2）展示了 LPP 的过程：(A) 剔除撞墙的左侧路径；(B) 选出最佳预测路径（白色）。

  该图像是一个示意图，展示了在LPP中运用场景感知的过程。图中红色路径为先前行走的轨迹，黄色为真实轨迹，绿色为虚拟障碍物的边缘。图(A)中，场景感知早期移除不合适的轨迹，仅保留有效的白色轨迹，而左侧的对称预测因碰撞而被丢弃。图(B)展示了从有限有效轨迹中识别出的最佳预测，预测的起点（紫色）稍微位于过去。

4.2. 预测算法二：前向路径预测 (FPP)

FPP (Forward Path Prediction) 采用数值分析方法，直接计算出一条最可能的未来路径，计算量更小。

4.2.1. 非完整约束动力学系统

人类行走被建模为一个非完整约束系统（即不能横着平移，只能沿朝向移动）。其微分方程组为：

$$\left( \begin{array} { c } { { \dot { x } _ { T } } } \\ { { \dot { y } _ { T } } } \\ { { \dot { \varphi } _ { T } } } \\ { { \dot { \kappa } _ { T } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { c o s \ \varphi _ { T } } } \\ { { s i n \ \varphi _ { T } } } \\ { { \kappa _ { T } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) u _ { 1 } + \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) u _ { 2 }$$

• 符号解释：
  • x, y：用户位置。
  • $\varphi$：用户朝向（Heading）。
  • $\kappa$：路径曲率（Curvature）。
  • $\dot{x}, \dot{y}, \dot{\varphi}, \dot{\kappa}$：上述变量对时间的导数。
  • $u_1$：控制输入1，即线速度 $v_T$。
  • $u_2$：控制输入2，即曲率变化率 $\dot{\kappa}_T$。

4.2.2. 曲率与导数计算

为了求解上述系统，需要计算当前轨迹的曲率 $\kappa$ 及其导数 $\dot{\kappa}$。

• 曲率公式： $$\kappa = \frac { \dot { x } \ddot { y } + \ddot { x } \dot { y } } { \left( \dot { x } ^ { 2 } + \dot { y } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } }$$
• 曲率变化率公式： $$\dot { \kappa } = \frac { 2 \left( \dot { x } ^ { 2 } + \dot { y } ^ { 2 } \right) \left( x ^ { ( 3 ) } \dot { y } + 2 \ddot { x } \ddot { y } + y ^ { ( 3 ) } \dot { x } \right) - 6 \left( \ddot { x } \dot { y } + \dot { x } \ddot { y } \right) \left( \dot { x } \ddot { x } + \dot { y } \ddot { y } \right) } { 2 \left( \dot { x } ^ { 2 } + \dot { y } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 5 } { 2 } } }$$ 这里涉及到了位置的三阶导数 $x^{(3)}, y^{(3)}$。

4.2.3. 数值微分 (CFD)

为了从离散的头显（HMD）数据中获取这些高阶导数，作者使用了中心有限差分法 (Central Finite Differences, CFD)。

• CFD 系数向量： 为了计算 t-4 时刻的导数（利用 t-8 到 $t$ 的数据），作者定义了以下系数向量：

  $$\begin{array} { l } { { C _ { C F D , d 1 } = \bigg ( \frac { 1 } { 2 8 0 } - \frac { 4 } { 1 0 5 } \frac { 1 } { 5 } - \frac { 4 } { 5 } 0 \frac { 4 } { 5 } - \frac { 1 } { 5 } \frac { 4 } { 1 0 5 } - \frac { 1 } { 2 8 0 } \bigg ) } } \\ { { C _ { C F D , d 2 } = \bigg ( - \frac { 1 } { 5 6 0 } \frac { 8 } { 3 1 5 } - \frac { 1 } { 5 } \frac { 8 } { 5 } - \frac { 2 0 5 } { 7 2 } \frac { 8 } { 5 } - \frac { 1 } { 5 } \frac { 8 } { 3 1 5 } - \frac { 1 } { 5 6 0 } \bigg ) } } \\ { { C _ { C F D , d 3 } = \bigg ( - \frac { 7 } { 2 4 0 } \frac { 3 } { 1 0 } - \frac { 1 6 9 } { 1 2 0 } \frac { 6 1 } { 3 0 } 0 - \frac { 6 1 } { 3 0 } \frac { 1 6 9 } { 1 2 0 } - \frac { 3 } { 1 0 } \frac { 7 } { 2 4 0 } \bigg ) } } \end{array}$$ 注：这些复杂的系数是为了在离散数据上尽可能精确地估算一阶、二阶和三阶导数。

• 导数计算： 将历史位置数据向量 $\vec{x}, \vec{y}$ 与上述系数相乘： $$\begin{array} { r l } & { \dot { x } _ { t - 4 } = C _ { C F D , d 1 } \cdot \vec { x } } \\ & { \ddot { x } _ { t - 4 } = C _ { C F D , d 2 } \cdot \vec { x } } \\ & { x _ { t - 4 } ^ { ( 3 ) } = C _ { C F D , d 3 } \cdot \vec { x } } \end{array} \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad \begin{array} { r l } & { \dot { y } _ { t - 4 } = C _ { C F D , d 1 } \cdot \vec { y } } \\ & { \ddot { y } _ { t - 4 } = C _ { C F D , d 2 } \cdot \vec { y } } \\ & { y _ { t - 4 } ^ { ( 3 ) } = C _ { C F D , d 3 } \cdot \vec { y } } \end{array}$$ 得到导数后，代入 Eq(3) 和 Eq(4) 即可确定唯一的一条回旋曲线。

下图（原文 Figure 3）展示了 FPP 生成的单条预测路径（黄色）：

该图像是示意图，展示了多用户重定向行走的预测系统。图中A和B部分分别描绘了不同用户在虚拟环境中行走轨迹的变化，采用了不同颜色表示用户的实际步态和视觉感知路径，模型通过平滑的曲线生成引导用户行走。

4.3. 重定向与成本函数

有了预测路径 $T_{pred}$ 后，系统会尝试应用不同的重定向增益（Action Set $U$），生成一系列候选的重定向路径 $T_{red}$。然后通过成本函数评估哪种增益最好。

4.3.1. 人工势场力矢量

重定向的“目标方向”由总斥力矢量 $\vec { F } _ { r e d }$ 决定： $$\vec { F } _ { r e d } = \sum _ { i \in O } \vec { F } _ { r e p , i }$$ 其中，单个障碍物 $i$ 产生的斥力 $\vec { F } _ { r e p , i }$ 为： $$\vec { F } _ { r e p , i } = \left\{ \begin{array} { l l } { a _ { o } \cdot e x p \left( - b _ { o } \cdot d _ { o } ^ { 2 } \right) \cdot \vec { e } _ { o } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } d _ { o } \leq d _ { d } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ e l s e } } \end{array} \right.$$

• 符号解释：
  • $a_o$：最大斥力强度。
  • $b_o$：斥力随距离衰减的宽度系数。
  • $d_o$：用户到障碍物的欧几里得距离。
  • $\vec{e}_o$：从障碍物指向用户的单位向量（斥力方向）。

4.3.2. 总成本函数

系统选择使总成本 $J_{total}$ 最小的重定向策略 $\pi_{optimal}$： $$\pi _ { o p t i m a l } = \underset { \forall \pi \in U } { \mathrm { a r g m i n } } \ J _ { t o t a l } \left( \pi \right)$$ 总成本是对预测路径上所有点 $i=1...N$ 的累加，并引入了折扣因子 $\alpha$（原文取0.8），意味着越远的预测权重越低： $$J _ { t o t a l } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \alpha ^ { i } \cdot J _ { i }$$

4.3.3. 单点成本构成

每个点的成本 $J_i$ 由四部分组成： $$J _ { i } = J _ { A P F , i } + J _ { H e a d i n g , i } + J _ { R e s e t , i } + J _ { G a i n , i }$$ 其中最关键的两项是：

1. APF 成本： 直接等于该位置的力场强度，表示撞墙风险。 $$J _ { A P F , i } = \| \vec { F } _ { r e d } \|$$
2. 朝向成本： 惩罚用户朝向 $\vec{\theta}_i$ 与力场方向 $\vec { F } _ { r e d }$ 的不一致。 $$J _ { H e a d i n g , i } = h _ { 0 } \cdot \frac { 1 } { 2 } \cdot \Bigg ( 1 - \frac { \vec { F } _ { r e d } } { \| \vec { F } _ { r e d } \| } \cdot \frac { \vec { \theta } _ { i } } { \| \vec { \theta } _ { i } \| } \Bigg )$$

   • 这是一个归一化的点积形式，当用户正对力场方向（即远离障碍物）时，成本最低。

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5. 实验设置

5.1. 实验设计与环境

• 参与者： 150人（75对），平均年龄 25.5 岁。

• 物理空间： $5.5\text{m} \times 8.0\text{m}$。

• 虚拟环境： 包含7个不同架构的房间（走廊、迷宫、开阔森林等），如图（原文 Figure 5）所示。

• 任务： 收集环境中的27颗星星。

• 安全机制： 当无法通过重定向避免碰撞时，触发“重置”（Reset），提示用户原地转向安全方向（见下图 Figure 4A）。

  该图像是图示，包含两个部分。部分A展示了提示信息“<< Spin In Place”，用于指示用户在原地旋转的方向；部分B则显示了环境中的一个黄色星形收集物，供参与者寻找和收集。

5.2. 对比基线 (Baselines)

为了验证 PredRed 的效果，作者对比了以下五种条件：

1. PredRed LPP: 本文提出的基于双纽线预测的方法。
2. PredRed FPP: 本文提出的基于前向数值预测的方法。
3. S2G (Steer-to-Gradient): 反应式基线。基于APF梯度引导，但不做预测。
4. S2C (Steer-to-Center): 经典基线。总是引导用户走向物理中心。
5. NULL: 无重定向引导，仅在即将碰撞时触发重置。

5.3. 评估指标

• 平均重置间距 (Mean Distance Between Resets, $d_{Reset}$):

  • 定义： 衡量重定向算法让用户连续行走多久才被打断一次。值越大越好。
  • 公式： $d_{Reset} = \frac{\text{Total Distance Walked}}{\text{Number of Resets} + 1}$

• 模拟器晕动症 (Simulator Sickness, SS): 使用 SSQ 问卷评估。

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6. 实验结果与分析

6.1. 核心结果分析

实验结果表明，PredRed LPP 表现最佳，即提供了最长的不间断行走距离。

以下是原文 Table 4 的结果，展示了各算法的平均重置间距：

分析：

• PredRed LPP 达到了 5.75m，明显优于 NULL (5.28m) 和 S2C (5.42m)。

• 下图（原文 Figure 6）直观展示了这一分布趋势，LPP 的中位数和上限均较高。

  该图像是图表，展示了不同重定向器的重置间距 $d_{Reset}$ 的性能表现。各组数据以小提琴图形式呈现，包含PredRed LPP、PredRed FPP、S2G、S2C和Null。图中显示的重置间距值范围从4.0到6.5米。

6.2. 统计显著性

为了验证这些差异是否具有统计学意义，作者进行了单尾 t 检验。以下是原文 Table 5 的数据：

注：绿色表示 $p < 0.05$ (显著)，黄色表示不显著。表格阅读方式为“左侧算法 vs 上方算法”。

分析：

• PredRed LPP 显著优于所有其他算法（包括 FPP 和 S2G）。这证明了“场景感知 + 双纽线预测”的策略是最有效的。
• PredRed FPP 和 S2G 表现相近，无显著差异。这说明如果预测仅仅是简单的数值外推（FPP），其效果可能并不比优秀的反应式算法（S2G）强多少。
• S2C 与 NULL 无显著差异。这令人惊讶，说明经典的“导向中心”策略在复杂的多房间环境中可能并不比“不引导”强多少（因为中心可能被墙挡住）。

6.3. 房间结构的影响

作者还分析了不同房间结构下的表现（见下图 Figure 7）。

• LPP 在走廊（Hallway）和大多数开阔房间表现优异。

• S2C 在复杂结构（如迷宫）中表现急剧下降，因为它盲目地引导用户穿过虚拟墙壁去物理中心。

  该图像是一个热图，显示了不同地点的重置距离。在图中，颜色从黄色（最佳）到蓝色（最差）变化，矩阵的各个单元格包含不同的距离值，这些值与不同的预测重定向行走（PredRed LPP, PredRed FPP等）方法相关联。

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7. 总结与思考

7.1. 结论总结

1. 本文成功提出并验证了两种适用于多用户、开放空间的预测性重定向行走算法（PredRed LPP/FPP）。
2. PredRed LPP 凭借其结合了回旋曲线预测和场景感知（剔除撞墙路径）的能力，在减少重置次数方面表现最佳，统计显著优于现有方法。
3. 基于人工势场 (APF) 的框架被证明具有极高的灵活性，能够优雅地处理复杂的房间几何形状和动态的用户间避障。

7.2. 局限性与未来工作

• 用户优先级： 目前APF将所有用户视为同等权重的障碍物。未来可以引入优先级系统，让某些用户在特定情况下拥有“路权”。
• 预测准确性： FPP 目前是纯数值外推，不包含场景感知。未来可以将场景感知加入 FPP 以提升精度。
• 交互性： 目前用户在虚拟中是隔离的（看不见对方）。如果在同一虚拟空间中也能看到对方，可能会改变用户的行走策略。

7.3. 个人启发与批判

• 方法的精妙之处： 本文最精彩的地方在于将预测融入了势场成本函数。传统的APF只看当前点的力，而 PredRed 计算了未来路径上累积的势场力（Eq 14），这本质上是Model Predictive Control (MPC) 的一种轻量化实现。
• FPP vs LPP 的思考： 尽管 FPP 数学推导更复杂（涉及三阶导数），但效果却不如 LPP。这提示我们：在含噪声的真实数据（HMD Tracking）面前，几何约束（LPP的双纽线）往往比高阶数值外推（FPP）更鲁棒。
• S2C 的失效： 实验再次印证了 S2C 在非凸空间（有内墙的房间）的无力。这对未来的RDW设计是一个警示：不要盲目依赖简单的几何中心。